Шектеусіз тізбектер мен шектеусіз қатарлар. XVII ғасырда есептеу техникасының дамуы жинақталатын шектеусіз тізбетерге қатысты бірқатар жаңалықтардың ашылуына алып келді. Математиктер шектеусіз тізбектермен есептеулер жүргізудің кез келген қадамында дұрыс болатын қанда да бір рекуренттік ережені табу барысында ұдайы кездесіп отырды. Квадратуралау мен кубатуралау есептері де осы сияқты тізбектерге келтірді.
Тізбектердің жаңа түрі – шектеусіз көбейтінділер Виеттің «Математиканың әртүрлі мәселелері бойынша жауаптардың VII кітабы» атты еңбегінде (1593) енгізілді. Ол дөңгелектің квадратурасы туралы есеппен айналысу кезінде осы дөңгелекке іштей сызылған дұрыс -бұрыштар мен 2n-бұрыштардың және аудандары арасындағы тәуелділікті қорытып шығарды. Егер берілген дөңгелектің радиусын , -бұрышқа іштей сызылған дөңгелектің радиусын деп белгілесек, онда
Виет тізбектей деп ауданының шегі дөңгелектің ауданына тең болатынын ала отырып, алынған теңдіктерді өзара көбейтеді де мынаны алады:
Дж.Грегоридің орталық конустық қиманың секторын квадратуралауды зерттеуде қолданған әдісінің Виеттің әдісіне біршама ұқсастығы бар. Грегоридің бұл әдісі оның «Дөңгелек пен гиперболаның ақиқат квадратурасы» атты еңбегінде (1667) баяндалады. Мұнда автордың мақсаты дөңгелектің, сондай-ақ эллипс пен гиперболаның секторының ауданын іштей және сырттай сызылған үшбұрыштар мен төртбұрыштардың аудандары арқылы алгебраның бес амалының (қосу, азайту, көбейту, бөлу және түбір табудың) көмегімен дәл өрнектердің мүмкін болматындығын дәлелдеу керек болды. Басқаша айтқанда, Грегори дөңгелек және логорифмдік функциялардың алгебралық функциялар болып табылмайтындығын дәлелдеуге тырысты. Алайда, оның келтірілген дәлелдемесі толық болмады. Функциялар мен сандардың трансценденттігін қатаң түрдегі дәлеледемелері XVII ғасыр математиктерінің қолдарында болғаннан әлдеқайда нәзік құралдарды талап етті, сондықтан ол екі ғасырдан кейін ғана жүзеге асырылды.
XVII ғасырда ашылған жаңалықтардың бірі функцияны жуық түрде өрнектеуде шектеусіз қатарлардың пайдаланылуы болып табылады. Осыған қатысты логарифмдер айрықша роль атқарғанын атап айту керек.
Гиперболамен, оның асимптотасымен және екі түйіндес ординаталармен шектелген ауданның логарифмдермен байланысын Г.Сен Венсан (1647) және айқын түрде де Сараса (1649) атап көрсетті. Бұл байланысты 1657 жылға дейін У.Броунер шектеусіз қатар ретінде өрнектеді. Бұл алынған өрнек
түріндегі нәтижені ол «Философикал транзакционс» журналында «Гиперболаны рационал сандардың шектеусіз қатары көмегімен квадратуралау» тақырыбынмен жариялаған мақаласында көтерді (1668).
Бұл нәтижені П.Менголи У.Броункерден бұрын «Түрлік геометрия бастамалары» деген еңбегінде (1659) жариялады. Ол «Жаңа арифметикалық квадратуралар немесе бөлшектерді қосу» атты тағы бір еңбегінде (1950)
сияқты бірқатар сандық қатарларды қосындылауды жүзеге асырды және
теңсіздігін қолдана отырып, гармониялық қатарының жинақсыздығын дәлелдеді. Бұл алынған нәтижені Менгали жалпыланған гармониялық қатарына таратты, сондай-ақ гармониялық қатардың дербес қосындыларын логарифмдерді зерттеуде қолданды. Ол қатарын да зерттеуге әрекеттенді, бірақ оның жинақтылығын дәлеледегенімен, оны қосындылауды жүзеге асыра алмады. Кейінірек, кері дәрежелердің жалпы қатарларын Эйлер тереңірек зеттеді.
У.Бронкердің өрнегінің мәнін есептеу әдісі өте қарапайым еді. Менголи оған қарағанда теориялық жағынан тереңірек әдісті қолдана отырып, мынадай жіктеуді алды:
мұндағы
Бұдан болғанда үшін Броункер қатарын алуға болады. Сонымен қатар Менголи өрнегінің шектеусіз қатарға жіктелуінің мынадай түрін келтіреді:
Логарифмдік функцияның зерттеудегі келесі қадам оны жіктеусіз дәрежелік қатар түрінде өрнектеу болып табылады. Бұл маңызды қадамды математика тарихына Меркатор деген атпен енген Н.Кауфман жасады. Ол өзінің зерттеулерін У.Броункермен бір мезгілде «Логорифмотехника» атты еңбегінде (1668) жариялады.Алайда, бір мақсатқа-логорифмдерді есептеуге арналған бұл екі еңбектін бір-бірінен көп айырмашылығы бар. Меркатор
жіктеуін тапты.
Меркатордан бұрын бұл нәтижені Ньютон (1665) пен Гудде (1656) де алған болатын, бірақ олар өз зерттеулерін уақытылы жариялаған жоқ, Вомис «Философикол транзаксионс» журналында Меркатордың жаңалығына пікір білдіре отырып (1668), болғанда бұл қатарды қолдануға болмайтындығын атап көрсетті және
жіктелуін ұсынды. Осы жылы (1668) Грегори өзінің «Геометриялық этюдтерінде»
жіктелуін келтірді. Галле Ньютон биномының жалпы формуласының көмегімен
жіктелуін қорытып шығарады (1695). Ол сондай-ақ
жіктелуін де тапты (мұндағы ).
Сонымен кинематикалық тұрғыда Непер енгізген логорифм ондаған жылдардан кейін гиперболаның астындағы ауданның геометриялық бейнесіне айналды, сонан кейін аналитикалық тұрғыда дәрежелік қатар түрінде өрнектелді.
Гормониялық қатарлардың логорифмдермен байланысы оларды тыңғылықты зерттеуге түрткі болды және асимптотикалық қосындыларды қарастыруға алып келді. Оны Ньютон жүзеге асырды (1669,1671). Ол жалпы гормониялық қатарының дербес қосындыларын есептеу туралы мәселені арнайы зерттеу барысында мынада нәтижеге қол жеткізеді:
мұндағы натурал сандарының ішкі дәрежелерінің қосындысы.
Асимптотикалық өрнектелулер XVIII ғасырда Стирлинг пен Эйлердің арқасында жаңа зерттеулердің аса маңызды құралына айналды,оларды кейінірек Лагранж, Лентандр және Лаплас тиімді пайдаланды. Алайда, бұл мәселенің қатаң теориясы XIX ғасырда ғана құрылды.
Логорифмді қатарға жіктеу дәрежелік қатарларды пайдаланудың жалғыз ғана мысалы болып табылмайды.
Дж.Грегори басқада көптеген төмендегілер сияқты жіктеулерді ашты:
Осы кезеңде қатарлар теориясында Ньютон жоғары нәтижелерге қол жеткізіп, бірқатар жіктеулерді ұсынды:
Ньютон сонымен бірге аргументтің бөлшек және теріс дәрежелері бойынша қатарларға жіктеулерді де қарастырады.
