«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені

Loading...


бет6/40
Дата09.04.2020
өлшемі1.3 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40

1.2.Матрицалардың нормалары.

Анықтама. Берілген А квадрат матрицаның нормасы- деп теріс емес және келесі төрт шартты қанағаттандыратын санды айтамыз:

  1. , егер және =0, егер А=0;

  2. ;

  3. ;

  4. .

Матрицаның нормасын әртүрлі жолдармен алуға болады. Мысалы көп қолданылатын нормаларға мына нормаларды жатқызуға болады:

,

.

Бұл нормалар бірінші үш шартты қанағаттандыратыны айқын болғандықтан 4-ші шарттың орындалуын дәлелдейік:

Айталық, А=(аіj ), B=(bіj ) болсын. Онда

Сондықтан



Дәл сол сияқты

.

Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша .

Осыдан

.

Яғни

.

3.Келісілген нормалар. Көптеген есептерде матрица мен вектордың нормалры қатар қолданылатындықтан, олар бір-бірімен келісілген болуы тиіс.

Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін шарты орындалса, онда А матрицасы мен Х векторының нормалары келісілген дейміз.

Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық нормаларымен келісілген, ал N(A) тек сфералық нормамен келісілген.

Енді Х векторының нормасымен келісілген А матрицасының, шамасы жағынан ең кіші, нормасын табуды қарастырайық.

А матрицасының нормасы ретінде ||X||=1 болған жағдайдағы АХ векторының ең үлкен нормасын алсақ, яғни

(1.7)

болса, онда бұл шама норманың анықтамасының барлық төрт шартын қанағаттандырумен қатар келісілгендіктің де шартын қанағаттандырады:
1-шарт. Айталық, . Онда ||X||=1 вектор табылып, болады. Сондықтан болғандықтан >0. Егер А=0 болса, онда .

2-шарт. Екінші шарттың орындалуы мына теңдіктерден шығады:

.

Келісілгендік шарт.

Егер кез-келген вектор болса, онда векторының нормасы ||Х||=1. Сондықтан .

3-шарт. А+В матрицасы үшін ||A+B||=||(A+B)X0|| теңдігі орындалатындай нормасы бірге тең (|(X0||=1) Х0 векторын табамыз. Сонда


4-шарт. АВ матрицасы үшін ||X0||=1 және ||ABХ0||=||AB|| теңдігін қанағаттандыратын Х0 векторын табамыз. Сонда .

Сонымен біз (1.7) нормасы норманың анықтамасының барлық шарттарын және келісілгендік шартын қанағаттандыратындығын көрдік. А матрицасының (1.7) түріндегі нормасын берілген вектордың нормасына бағынған норма дейміз.

Енді бағынған норманың мәні басқа келісілген нормалардың мәнінен үлкен еместігін көрсетейік. Шынында да, матрицаның L(A)-вектордың нормасымен келісілген нормасы, ал -вектордың нормасына бағынған нормасы болсын.

Онда нормасы бірге тең Х0 векторы табылып ||A||=||0|| теңдігі орындалады. Ал екенін ескерсек, онда екенін көреміз.

Енді жоғарыда көрсетілген вектордың нормаларына бағынған матрицаның нормасын қарастырайық:


  1. .

Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы

. (1.8)

Шынында да, ||Х||1 =1 болсын. Сонда

,яғни . Енді шынында да өрнегіне тең екенің дәлелдейік.

Ол үшін ||X0||=1 және болатын Х0 векторын тұрғызайық. Айталық, өзінің ең үлкен мәнін і=j болғанда қабылдасын. Ал Х0 векторының координатасын



деп алсақ, онда ||X0||=1. Сонымен қоса және

,

болғандықтан

.

Осыдан .

Сонымен

.

2.

Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-

. (1.9)

Шынында да болса, онда



Енді Х0 векторын былайша алайық: өрнегі өзінің ең үлкен мәнін k=j болғанда алатын, ал kj болғанда Хk(0) =0және Хj(0) =1 болсын. Сонда

.

Сонымен

.

3. .


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
білім беретін
Барлы конкурс
республикасы білім
бойынша жиынты
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
идаларын бекіту
Республикасы кіметіні
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
Мектепке дейінгі
дебиеті маманды
дістемелік материалдар
білім беруді
ауданы кіміні
жалпы білім
конкурс туралы
мектепке дейінгі
рметті студент
облысы бойынша
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
дарламасыны титулды
Конкурс жариялайды
дістемелік кешен
мерзімді жоспар
разрядты спортшы
мелетке толма
ызметтер стандарттарын
директоры бдиев

Loading...