«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені


Интерполяциялау есебінің қойылуы

Loading...


бет3/40
Дата09.04.2020
өлшемі1.3 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40
Интерполяциялау есебінің қойылуы.
Техникада, физикада, экономикада т.с. жаратылыс тану ғылымдарында функцияның мәні таблица түрінде беріледі. Мысалы нүктелерінде функцияның мәндері- беріледі. Таблица арқылы берілген функцияның кемшілігі- оның кез-келген, таблицада көрсетілмеген, нүктедегі мәнінің белгісіздігі.

Көп жағдайда аналитикалық жолмен берілген функциясының мәнін есептеу өте күрделі, немесе таблица арқылы берілген функцияның мәндері өте қымбатқа түсетін эксперименттер арқылы алынған болса, онда функциясын, мәні оңай есептелінетін, қарапайым функциясымен алмастырған тиімдірек болады. Қысқаша айтқанда функцияның аргументінің кез-келген мәнінде, белгілі бір мағынада, болуы керек. Осы функциясын табудың мәселелерін- интерполяциялау теориясы дейміз.

Енді осы интерполяциялау теориясының ең қарапайым түрін қарастырайық.



кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелердегі функциясының мәндері- берілген.

болатындай функциясын (интерполяциялаушы функция) табу керек.

Мұның геометриялық мағынасы:



нүктелерінен өтетін сызығын табу керек деген сөз.

1-сурет


Есептің бұл қойылымында көптеген шешулер болуы, немесе болмауы да мүмкін. Алайда кез-келген функцияның орнына дәрежесі n-нен үлкен емес, Pn(xі)=f(xі) (і=0,...,n) теңдігін қанағаттандыратын Pn(x) алгебралық көпмүшелігін алатын болсақ, онда есептің шешуі біреу ғана болады. Pn(x) көпмүшелігін-интерполяциялық көпмүше дейді.

Егер x01<...n, ал болса, онда функциясының мәні, тар мағанада интерполяциялау, болса, экстрополяциялау арқылы табылады дейді. Алдағы уақытта жалпы функциясын табуды- интерполяциялау дейміз.

Лагранждың интерполяциялау формуласы.

кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелерде функциясының мәндері- берілген. Осы функцияны интерполяциялау үшін n дәрежелі алгебралық көпмүшені

(2.1)

қолданамыз. Мұндағы коэффициенттерін



болатындай етіп табу керек.

Кез-келген үзіліссіз функциясы үшін бұл есептің шешімі біреу ғана болады. Себебі



(2.2)

теңдеулер жүйесінің аңықтауышы нольден айырықша (Вандермонд аңықтауышы).



көпмүшесін, нүктелері бойынша тұрғызылған, функциясын интерполяциялаушы көпмүше дейміз.

(2.2) теңдеулер жүйесінің шешімдерін әртүрлі жолмен табуға болады. Оның көп қолданатын түрлері Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктері.



Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін

(2.3)

түрінде қарастырамыз. (2.2) шартын ескере отырып,



(2.4)

теңдігін аламыз. Егер



(2.5)

болса, онда (2.4) шарты орындалады. дәрежелі көпмүше болғандықтан коэффициентін де n дәрежелі көпмүше ретінде іздеген дұрыс. Атап айтқанда көпмүшесін

(2.6)

түрінде іздейміз.



шартың ескере отырып, (2.6) формуладан

және


(2.7)

формуласын табамыз. Сонымен Лагранж көпмүшесі толық былайша жазылады.



. (2.8)

Егер десек, онда

ал



Сондықтан Лагранж көпмүшесін былайша ықшамдап жазуға болады:

(2.9)

Енді интерполяциялық Лагранж көпмүшесінің жіберетін қатесін қарастырайық.



функциясын көпмүшесімен алмастырғанда жіберетін қатеміз

(2.10)

Кейде функциясын Лагранж көпмүшесінің қалдығы деп те атайды.



Кез-келген нүктесіндегі қалдықты табу үшін мына көмекші функцияны қарастырамыз:

, (2.11)

мұнда -тұрақты сан. санын болатындай, яғни



(2.12)

деп алсақ, онда ең болмағанда нүктеде нольге тең болады.



Енді функциясының кесіндісінде үзіліссіз ретті туындысы бар болсын. Сонда , Роль теоремасы бойынша, кесіндісінде ең болмағанда n+1 нүктеде нөлге тең, ал -ењ , болмағанда n нүктеде нөлге тең, т.с. ең болмағанда бір нүктеде нөлге тең болады. Сонымен табылады да болады.

Ал болғандықтан . (2.13)

(2.12) және (2.13) формулаларды ескере отырып,



(2.14)

формуласын аламыз.



Осыдан функциясын жоғарыдан бағалау арқылы

. (2.15)

теңсіздігін аламыз, мұндағы .

Егер дәрежесі n-нен үлкен емес көпмүше болса, онда

Сондықтан .

Лекция 4.



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
Барлы конкурс
білім беретін
республикасы білім
ызмет регламенті
бойынша жиынты
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
мемлекеттік ызмет
рсетілетін ызметтер
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
мемлекеттік мекемесі
дебиеті маманды
Мектепке дейінгі
дістемелік сыныстар
дістемелік материалдар
ауданы кіміні
конкурс туралы
жалпы білім
рметті студент
облысы бойынша
білім беруді
мектепке дейінгі
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
мелетке толма
разрядты спортшы
аласы кіміні
директоры бдиев

Loading...