Сандық дифференциалдау

Loading...


Дата14.04.2020
өлшемі35.97 Kb.
Сандық дифференциалдау

 

Сандық дифферианциалдау қолданылады, егер y(x) функцияны аналитикалық дифференциалдау қиын, әрі мүмкін емес болғанда – мысалы, егер ол таблица түрінде берілсе.Ол әр түрлі әдістер көмегімен  дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін де қажет.



Сандық дифферианциалдау кезінде  y(x) функциясын φ (x;a)  функциясымен оңай аппроксимациялайды және y’(x)=φ’(x;a) жуықтап алады.  Сонымен қатар аппроксимацияның әр түрлі әдістерін қолдануға болады. Қарапайым әдіс – Ньютонның интерполяционды аппроксимациясын қарастырайық. ξi = x - xi белгісін енгізу арқылы, бұл көпмүшені жазайық және оны жеке-жеке дифференциялдайық: 

 

φ(x)=y(x0)+ξ0y(x0,x1)+ξ0ξ1y(x0,x1,x2)+ξ0ξ1ξ2y(x0,x1,x2,x3)+…



φ’(x)= y(x0,x1)+(ξ01)y(x0,x1,x2)+(ξ0ξ1+ ξ0ξ2+ ξ1ξ2)y( x0,x1,x2,x3)+…,

φ”(x)=2y(x0,x1,x2)+2 (ξ012)y(x0,x1,x2,x3)+…



 

Ортақ  формула келесі түрде болады:



 

φ(k)(x)=k![y(x0,x1,…,xk)+()y(x0,x1,…,xk+1)+()y(x0x1,…,xk+2)+

()( x0x1,…,xk+3)+…].                                                                             (3.8)



 

Мүшенің кейбір сандарында ретті бөлу арқылы қосындыға сәйкес жақын мәнді алайық. (3.8) формуласында бірінші мүшені ғана қалдырып, ең қарапайым мәнін аламыз: 



y’(x)y(x0,x1)=[y(x0)-y(x1)]/(x0 – x1,

y”(x)y(x0 x1, x2)=,                                                                   (3.9)

 

(3.8) – (3.9)  барлық формулалар кез-келген бірқалыпты торға есептелген.



Сандық есептеу кезінде алынған мәндердің дәлдігін зерттеу (3.8) рет мүшелерінің кему жылдамдығы бойынша апострориорлы бағаның көмегімен істеген ыңғайлы. Егер тодың қадамы жеткілікті аз болса, онда терістік  бірінші алып тасталған мүшеге жақын. Біз  xi түйінін қолданайық.   Онда бірінші алып тасталған мүше (3.9)-ға сәйкес шамамен y(n+1)(x)/(n+1)! тең   y(x0, x1,…,xn+1) бөлектенген айырымды құрайды. Оның алдында ξi әр түрлі көбейткіштерінің шығармаларының сомасы тұр; әрбір шығарма  n+1-k  көбейткіштерін құрайды, ал барлық сомма  қосындысынан тұрады.  Осыдан n+1 түйінді  (1) формуланың терістік бағасы шығады;

                                                                               (3.10)

Әдетте, егер тор бірқалыпты болса, онда max|ξi|>nh , осыдан:            



                                                                         (3.11)

Бұл бағаларды ξi  көбейткіштерді аса детальді қарастыру арқасында бірнеше жақсартуға болады. (3.8) формуласының қатаң априорлы қателігін зерттеу,  Коши фомасында түйіндерді әр қалай орналастыру үшін Ньютон көпмүшесінің қалған мүшесінің қортындысы сол (3.10) бағаға әкелетінін байқауға болады.

Сөйтіп,  (3.8) формуласының дәлдік реті тор қадамына қарағанда онда қалдырылған мүшелер санына тең немесе сол сияқты итерпляция түйіндерінен туынды ретін алғанға тең. Сондықтан k –ші туындыны есептеуге қажет түйіндердің минимальді саны   k+1-ге тең; ол (3.9) формуласына әкеледі және дәлдіктің бірінші ретін қамтамасыз етеді. Бұл қортындылар ортақ принципке сәйкес келеді: ретті мүшелеп дифферианциалдау кезінде оның жинақталу жылдамдығы төмендейді.

Интерполяция формулаларында 4 –6 кем емес түйіндерді қолдану  ұсынылған болатын. Егер дифферианциалдау кезінде тағы қатардың  жинақталуының нашарлауын есептесек, онда мынандай шешім шығаруға болады: тіпті егер функция жеткілікті анық торлы жақсы құрылған таблицада берілген болса, мүшелеп дифферианциалдау арқылы бірінші және екінші туындыларды оңай анықтауға болады, ал үшіншісі және төртіншісі – қанағаттандырарлықтай. Аса жоғарғы туындыларды қолайлы дәлдікпен шешу сирек мүмкін болады.



(3.8) формула түрінде елеулі оңайланатын, ал дәлдік жиі жоғарлайтын біртекті торлар жиі қолданылады.  

Алдымен дәлдіктің жоғарлау себебін қарастырайық. (3.8) формуланың ортақ қалған мүшесінде  x қатысты  n+1-k дәрежелі  көпмүше бар. Егер x бұл көпмүшенің түбіріне тең болса, онда негізгі қалдық мүше нөлге айналады, яғни бұл нүктеде формула  (3.11)  бағаға сәйкестіктен гөрі бірден үлкен дәлдік ретін алады. Бұл  жоғарлатылған ділдік нүктелерін  деп белгілейміз, мұндағы k –туынды реті, ал p=n+1-k - (3.8) формулада қалған мүшелер саны. p –мүшелі формула p жоғарлатылған ділдік нүктелерін қабылдайтыны анық.

(3.9) бірмүшелік формулада  k-шы туынды үшін жоғарлатылған дәлдік нүктесі кез-келген торда   шартымен анықталады, ол мынаны береді:



                                                                                 (3.12)

Бұл нүктеде бір мүшелі формула қарапайым  терістік O(h)-тің орнына О(р2) қателігі түрінде болады.  Екі мүшелі формула үшін жоғарлатылған ділдік нүктелерін табу есебі түбірі нақты квадраттық теңдеуге әкеледі, бірақ оларды анықтайтын формуа үлкен.  Егер p>2 болса, онда жоғарлатылған ділдік нүктелерін табу өте қиын, қазір біз қиын емес дербес жағдайды қарастырайық.  



 p жұп болсын, ал (3.8) формуласындағы түйіндер  x нүктесіне қатысты симметриалы орналасқан дейік; онда x   жоғарлатылған ділдік нүктелерінің бірі болып табылады.

ДӘЛЕЛДЕМЕ.  Расымен де, соның негізінде ξi=x-xi шамалары жұп бойынша тең абсалютті шамаларды қабылдайды, бірақ белгісі қарама-қарсы. Қалдық мүшеде  қосындысының дәржесі жұп болады, және барлық  ξi бір уақытты белгілерінің өзгерісі кезінде ол белгісін өзгертуі тиіс.  Бірақ ξi белгісінің біруақытты өзгерісі мұндай түйіндердің орналастырунда тек нөмерінің өзгеруіне әкелгендіктен, онда  тек w=0 мүмкін болғанда w шамасы сақталады. Пікір дәлелденді.

1  ЕСКЕРТУ. Дәлелдеме бірқалыпсыз тор үшін әділетті.

2 ЕСКЕРТУ. Түйіндер саны әр түрлі болып болжанған болатын;  нүктесіне қатысты түйіндердің симметриалық орналасуы түйіндердің жұп санында  орталық түйінмен сәйкес келеді, ал тақ кезінде шама түйіндердің арасында жатады деген мағынаны білдіретіні айдан анық.  

3 ЕСКЕРТУ. Дәлдіктің жоғарлатылуы тек қана жоғарлатылған дәлдік нүктелердің өзінде ғана қол жеткізілмейді, сонымен қатар туындының өзгерісі формула қателігін асырмайтын олардың жеткілікті аз төңірегінде де жүзеге асырылады;  нүктесі үшін бұл төңірегі O(h2) ұзындығымен   үшін және т.б.

Кез-келген торда симметрия шарты тек төтенше жағдайларда ғана жүзеге асырылады. Бірақ егер тор бірқалыпты болса, онда оның әрбір түйіні көрші түйіндермен симметриалы қоршалған.  Бұл тор түйінінде туындыларды есептеу үшін қиын емес формулаларды жақсы дәлдікпен құрауға мүмкіндік береді.  

Мысалы, x0, x1, x үш көрші түйіндерді алайық және бірінші және екінші туындаыларды шама түйінде шешейік. (3.9) бірмүшелі формулада функцияның шартты мәні арқылы бөлінген қалдықты беру арқылы мынаны оңай аламыз: 

                                                               (3.13)

                                                                             (3.14)

(3.13) формуласын жиі бірнеше басқа түрде, тор интервалының шама нүкте туындысын анықтау үшін оңай түрде жазады:

                                                                                         (3.15)

Аса жоғарғы дәлдік ретті немесе аса жоғарғы туындылы формулаларды шығаруға болады. Мысалы (3.8) үшмүшелі формула, шама интервалдың бірінші туындысы үшін төрт көрші түйін бойынша мынаны береді:  

                                                                       (3.16)

ал орталық түйінде екінші туынды үшін бес түйін бойынша

                                                                 (3.17)

Барлық (3.13) – (3.17) формулалар дәлдіктің дәл ретін береді. Барлық бұл формулалар бірқалыпты тор жағдайында жазылғанын байқайық; кез-келген біртексіз торда  бірінші туынды үшін оларды қолдану O(h) төменгі дәлдікке әкеледі, ал екінші туынды үшін – үлкен қатеге әкеледі. 

Бірқалыпты торда формулалар дәлдігінің априорлы бағасы үшін Тейлора – Маклорен формуласы бойынша жіктеу әдісі жиі қолданылады. Мысалы, y(x) функциясы үзіліссіз төртінші туындыны қабылдайды деп есептейік және функция  арқылы оның мәнін xi+1 түйінінде және оның туындысын симетриялы түйіннің ортасында (берілген жағдайда түйін ортасы xi) белгілейік  :

 

                                                  (3.18)

 

мұндағы η+ -те  (xi, xi+1) интервалының кейбір нүктесі бар, ал  η--те (xi1,xi) интервалының кейбір нүктесі бар. Бұл айырымдарды (3.14) формуласының оң жағында тұрған екінші қалдыққа қою арқылы мынаны аламыз:   



                                                              (3.19)

 

Бұл алдында берілген бағаны көрсетеді және h2y4(η)/12 тең болған қалдық мүшесінің шамасын толықтырады. Қалдық мүшені алудың мұндай әдісі (3.8) формуласы бойынша есептеуден гөрі жеңілірек.  Әсіресе ол әр түрлі сұлбалардың апроксимациялық зерттеуінде жиі қолданады.  



 

Достарыңызбен бөлісу:
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
бойынша жиынты
жалпы конкурс
білім беретін
Барлы конкурс
республикасы білім
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
дістемелік сыныстар
Конкурс ткізу
стандарттарын бекіту
мемлекеттік мекемесі
Мектепке дейінгі
дебиеті маманды
дістемелік материалдар
білім беруді
жалпы білім
ауданы кіміні
конкурс туралы
мектепке дейінгі
рметті студент
облысы бойынша
мерзімді жоспар
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
разрядты спортшы
мелетке толма
директоры бдиев

Loading...