Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых

Пусть  .Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим точку   на прямой   и проведем через прямую   и эту точку плоскость   (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к доказательству

Покажем, что прямая   лежит в этой плоскости. Если бы прямая   пересекала плоскость  , то, по лемме о параллельных, прямая   тоже пересекала бы эту плоскость, а вслед за ней и прямая   по той же лемме. Но   лежит в плоскости, а не пересекает ее. Следовательно,   не пересекает плоскость  . А так как она имеет с ней общую точку  , значит, она лежит в плоскости  .

Итак, прямые   и   лежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, обе параллельные  , что невозможно. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.

Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности прямой и плоскости.