Модуль Электрическое поле


 Энергия электрических зарядов

Loading...


Pdf көрінісі
бет3/3
Дата13.04.2020
өлшемі0.8 Mb.
1   2   3

7. Энергия электрических зарядов 

           Сообщим  уединенному проводнику некоторый заряд  q  . Тогда вокруг него возникает 

электрическое  поле,  и  потенциал  проводника  примет  какое-то  значение.  Чтобы  увеличить 

заряд  проводника  на  dq  придется  принести  этот  заряд  из  бесконечности  к  поверхности 

проводника и затратить на это работу, равную 

                                                      



A = (

 



 



dq = 



dq =  


C

qdq

 ,                                         (3.7.1) 

если  считать 



 

=  0.  Эта  работа  совершается  внешними  силами,  перемещающими  заряд 

против  сил  электрического  поля  проводника.  При  обратном  перемещении  заряда  dq  с 

поверхности  проводника  в  бесконечно  удаленную  точку  силы  электрического  поля 

совершают точно такую же по величине работу  dA. Следовательно, заряженный проводник 

обладает  потенциальной  энергией  W,  за  счет  которой  совершается  работа  разрядки.  При 

увеличении заряда проводника на dq его потенциальная энергия возрастает на величину dW , 

равную работе dA , совершенной внешними силами: 

                                                                    dW =dA=

qdq

C

1

.                                                    (3.7.2)  



Потенциальную энергию незаряженного проводника (q=0 и 

=0), не создающего вокруг себя 



электрического  поля,  будем  считать  равной  нулю.  Тогда  энергия  W  проводника,  заряд 

которого  достиг  некоторой  величины,  может  быть  найден  интегрированием  выражения 

(3.7.3): 


 

72 


                                                      







W



q

q

C

q

qdq

C

qdq

C

dW

W

0

0



0

2

2



/

1

1



.                           (3.7.3) 

Используя  зависимость,  связывающую  заряд  проводника  с  его  потенциалом,  можно 

окончательно получить выражение для энергии заряженного проводника в виде: 

                                                                 W = q

2

/2C = q




 



 C

2





.                                    (3.7.4) 

Внутри  заряженного  проводника  поле  отсутствует.  В  процессе  зарядки  проводника 

электрическое  поле  возникает  в  пространстве,  окружающем  проводник.  Электрическая 

энергия  заряженного  проводника  локализована  в  окружающем  его  электрическом  поле, 

которая  распределена  в  последнем  с  объемной  плотностью  в  соответствии  с    величиной 

напряженности электрического поля в зависимости от  расстояния до проводника. 

Энергия заряженного конденсатора 

             Рассмотрим  простейший  случай  однородного  поля  между  пластинами  плоского 

конденсатора.  Процесс  зарядки  такого  конденсатора  можно  представить  как 

последовательное  перемещение  бесконечно  малых  порций  заряда  dq  с  одной  пластины  на 

другую,  в  результате  чего  одна  из  пластин  будет  заряжаться  положительно,  а  другая- 

отрицательно  и  между  ними  будет  возникать  постепенно  возрастающая  разность 

потенциалов  U  =  q  /  С  .  Повторяя  ход  вывода,  приведенного  выше  для  уединенного 

проводника,  легко  получить  выражение  для  полной  электростатической  энергии 

заряженного конденсатора: 

                                                              W = q

2

/2C = q


U





 

 CU



2



                                          (3.7.5) 



совершенно аналогичное выражению (3.7.4). Подставляя в (3.7.5) значения электроемкости и 

разности потенциалов в плоском конденсаторе C=



0

S/d   и Е= U/ d  , после преобразования 



получим: 

                                        



V

E

Sd

E

d

E

S

d

CU

W





2

2



2

2

/



2

0

2



0

2

2



0

2









.                     (3.7.6) 



Здесь  Е-  напряженность  электрического  поля  внутри  конденсатора,  a  V=  S  d  -его  объем. 

Отсюда энергия единицы объема, или объемная плотность энергии электрического поля 



                                                                     

2

/



/

2

0



E

V

W







                                            (3.7.7) 

оказывается  прямо  пропорциональной  квадрату  напряженности  электрического  поля. 

Соотношение  (3.7.7)  остается  справедливым  и  для  любых  неоднородных  полей,  в  которых 

напряженность  поля  Е  и  плотность  энергии 

  меняется  от  точки  к  точке.  В  изотропном 



диэлектрике  направления  векторов 



  и 



  совпадают.  Поэтому  формуле  для  плотности 

энергии можно придать вид: 

                                                        

2

/



2

2

)



(

2

/



0

2

0











P

E

E

P

E

E

D

E



.                       (3.7.8) 

Первое  слагаемое  в  этом  выражении  совпадает  с  плотностью  энергии  поля 



  в  вакууме. 

Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. 

Энергия взаимодействующих зарядов. 

Поскольку электрическое поле непрерывно связано с электрическими зарядами, то энергию 

поля W можно также рассматривать как энергию взаимодействующих зарядов. В случае двух 

точечных зарядов q

i

  и  q


j

, находящихся в пустоте на расстоянии 



ij

r

  друг  от  друга,  согласно 

формуле:  А

ij

=  W



ij

  -  W


.  Если  в  пространстве  имеется  N  различных  точечных  зарядов,  то 

полная  потенциальная  энергия  системы  будет  равна  сумме  взаимных  энергий  всех  пар 

зарядов, входящих в систему. 

                                                   







N

j

i

N

j

i

ij

j

i

ij

r

q

q

W

W

,

,



0

4

/



2

1





   , 

j

i

  .                      (3.7.9) 



Множитель 1/2 в этом выражений нужен потому, что при суммировании по всем i и j от 1 до 

N  каждое  взаимодействие  учитывается  дважды.  Используя  выражение  для  энергии 



 

73 


взаимодействия  точечных  зарядов  необходимо  проанализировать  вопрос  об  устойчивости 

системы  неподвижных  зарядов.  Неустойчивость  системы  для  двух  точечных  зарядов 

очевидна.  Одноименные  заряды  отталкиваются  до  бесконечности,  а  разноименные  - 

притягиваются  до  полного  соприкосновения  и  нейтрализуются.  Условием  устойчивого 

равновесия  любой  системы  является  минимум  ее  потенциальной  энергии.  Для 

рассмотренной  системы  двух  точечных  зарядов  этот  минимум  наступает  лишь  при полном 

разрушении системы. 

                Рассмотрим  систему  из  трех  точечных  зарядов.  В  этом  случае  возможны 

конфигурации, при которых три заряда находятся в равновесии ,однако это равновесие будет 

неустойчивым.  Подобное  равновесие  будет  возможно,  если:  1)все  заряды  не  одинакового 

знака,  2)  заряды  расположены  вдоль  одной  прямой,  3)  величины  зарядов  находятся  в 

определенном соотношении. 

               Испытывая  различные  изменения  конфигурации  зарядов,  можно  убедиться,  что 

среди  них  имеются  такие,  при  которых  изменение  потенциальной  энергии  либо 

положительное, либо отрицательное или равно нулю. Таким образом, отдельные заряды не 

могут образовывать устойчивую статическую систему, они не могут быть не чем иным, как 

динамическими системами электрических зарядов.  

Энергия заряженного проводника 

              Заряд q , находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему 

точечных  зарядов  q.  Ранее  мы  получили  (3.7.1)  выражение  для  энергии  взаимодействия 

системы точечных зарядов: 

                                                                        



i

i

q

W

2



1

.                                                  (3.7.10) 

Поверхность  проводника  является  эквипотенциальной.  Поэтому  потенциалы  тех  точек,  в 

которых  находятся  точечные  заряды  q

i

,  одинаковы  и  равны  потенциалу 



  проводника. 

Воспользовавшись  формулой  (3.7.10)  получим  для  энергии  заряженного  проводника 

выражение: 

                                                      









q

q

q

W

n

i

i

i

i



2

1



2

1

2



1

1

.                               (3.7.11) 



Любое, из ниже приведенных формул  (3.7.12) дает энергию заряженного проводника:     

                                                            

2

/

2



/

2

1



2

2







C



C

q

q

W

.                                    (3.7.12) 

Итак,  логично  поставить  вопрос:  где  же  локализована  энергия,  что  является  носителем 

энергии-  заряды  или  поле?  В  пределах  электростатики  ,  которая  изучает  постоянные  по 

времени  поля  неподвижных  зарядов,  дать  ответ  невозможно.  Постоянные  поля  и 

обусловившие  их  заряды  не  могут  существовать  обособленно  друг  от  друга.  Однако 

меняющиеся во времени поля, могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и 

распространяться  в  виде  электромагнитных  волн.  Опыт  показывает,  что  электромагнитные 

волны переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является 

поле. 


Литература: 

Осн. 2 [11-81, 84-97], 7 [154-194], 8 [148-179]. 

Доп. 22 [8-102]. 

Контрольные вопросы: 

1.  При  каких  условиях  силы  взаимодействия  двух  заряженных  тел  можно  найти  по  закону 

Кулона? 

2.  Чему  равен  поток  напряженности  электростатического  поля  в  вакууме  через  замкнутую 

поверхность? 

3.  Расчет  каких  электростатических  полей  удобно  производить  на  основе  теоремы 

Остроградского-Гаусса? 


 

74 


4.  Что  можно  сказать о  напряженности  и потенциале  электростатического  поля  внутри  и  у 

поверхности проводника? 

 

 

8. Постоянный электрический ток 



Сила и плотность тока. 

       Электрический ток – направленное движение носителей электрических зарядов. Если в 

данной  среде  происходит  упорядоченное  перемещение  заряженных  частиц  под  действием 

электрического поля, то ток называется током проводимости. Направление тока совпадает с 

направлением  вектора  напряжѐнности  электрического  поля 



.    Сила  тока  –  скалярная 

величина,  численно  равная  количеству  заряда,  проходящего  через  сечение  проводника  за 

единицу времени, т.е. 

                                                                             

dt

dq

I

.                                                         (3.8.1) 



 Если  I  =  const,  то  такой  ток  называется  постоянным.  Единицей  силы  тока  в  СИ  является 

ампер  (А).  Это  одна  из  основных  единиц  системы  СИ,  которая  устанавливается  на  основе 

закона  взаимодействия  двух  токов.  Еще  одной  важнейшей  характеристикой  тока  считается 

его плотность, определяемая формулой: 

                                                                           

dS

dI

j

,                                                            (3.8.2) 



где dS – площадь, через которую проходит ток dI. В СИ i измеряется в (А/м

2

). Итак, наличие 



в  данной  среде  свободных  носителей  электрических  зарядов  –  заряженных  частиц  и 

электрического  поля  –  необходимое  условие  для  тока  проводимости.  Классическая 

элекутронная  теория  проводимости  металлов,  созданная  П.  Друде,  затем  развитая 

Г.Лоренцем, сумела получить основные законы электрического тока- законов Ома и Джоуля-

Ленца,  устновленных  опытным  путем.  Формула  закона  Ома  для  плотности  тока  выглядит 

так: 


                                                                     

E

E

j



1



,                                                        (3.8.3) 

поскольку    векторы  E

  и  j



    имеют  одинаковое  направление  можно  последнюю  формулу 

написать и так: 

                                                                      



E

E

j





1



.                                                       (3.8.4) 

Затем закон Джоуля-Ленца для плотности тепловой мощности тока имеет вид: 

                                                                   

2

2



1

E

E





.                                                      (3.8.5) 

В  этих  формулах 

  –  удельное  сопротивление, 



  –  удельная  проводимость.  Из  формул 

(3.8.3)  и  (3.8.5)  можно  перейти    к  интегральным  формам  записи  законов  Ома  и  Джоуля-

Ленца. 


Правила Кирхгофа для разветвлѐнных цепей. 

               Расчѐт, встречающихся на практике сложных, разветвлѐнных цепей, значительно 

облегчается, если воспользоваться двумя правилами, установленными Кирхгофом. 

              Первое  его  правило  относится  к  узлу  –  точке  разветвлѐнной  цепи,  где  сходятся  не 

менее  трѐх  проводников.  Правило  гласит:  алгебраическая  сумма  сил  токов,  сходящихся  в 

узле,  равна  нулю.  При  этом  токи,  подходящие  к  узлу,  считаются  положительными, 

отходящие от него – отрицательными. Это означает, что в узле не должно быть, также как в 

любой  точке  цепи  постоянного  тока,  накопления  зарядов.  Поэтому  должно  иметь  место 

равенство: 


 

75 


                                                                         





n

i

i

I

1

0 ,                                                          (3.8.6) 



где – число токов, сходящихся в узле. Для узла, приведѐнного на рис. 19.2, правило (3.8.6) 

запишется так:                                           I



1

 – I



+ I

3

 - I



+ I



= 0.    

                                                  I

2

                     I



3

      


 

                                                                               

                                              I

1                                         

I



                                                                                                 



                                                              I

5

                                                                                                        



                                                           Рис. 19.2 

        Второе правило относится к замкнутому контуру и  гласит: в любом замкнутом контуре 

алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление соответствующих участков 

равна алгебраической сумме э.д.с.. действующих в контуре, т.е.: 

                                                              





1

1



1

n

i

n

i

i

i

i

R

I

,                                                       (3.8.7) 



где  n  –  число  участков  контура.  При  применении  правила  (3.8.7)  выбирается  направление 

обхода  контура.  Токи,  направления  которых  совпадают  с  выбранным  направлением, 

считаются положительными. Положительными также будут э.д.с., создающие ток, имеющий 

направление  обхода  контура.  В  качестве  примера  применения  второго  правила  Кирхгофа 

рассмотрим замкнутый контур (рис. 19.3), состоящий из трѐх участков. 

                                                           

Рис. 19.3 

Пусть обход контура осуществляется по часовой стрелке. Тогда, согласно уравнения  (3.8.7) 

имеет место равенство: 

                                                   I

1

R



+ I

2

R

2

 – I

3

 R

3

 = ε



+ ε

2  

- ε

3

  .   

Другими  примерами  применения  двух  правил  Кирхгофа,  такими  как,  измерение 

сопротивлений  проводников  при  помощи  мостика  Уитстона,  определение  э.д.с.  методом 

компенсации – можно ознакомиться по ходу выполнения лабораторных работ. 



Электропроводность газов. 

            В  газовой  среде  при  нормальных  условиях  практически  отсутствуют  свободные 

заряды  и  она  не  проводит  электрический  ток,  еѐ  молекулы  нейтральны.  Прохождение  тока 

через газы возможно при ионизации последних, например, рентгеновским излучением. При 

этом процесс называется газовым разрядом, проводимость – несамостоятельной. Сила тока I 

зависит  от  напряжения 



U

    между  разноимѐнно  заряженными  электродами  (рис.  19.4).  В 

начале она растѐт линейно. На этом участке плотность тока определяется формулой:      

                                                           

E

u

u

qn

j

)

(



0



 ,                                                     (3.8.8) 



где  q  –  элементарный  заряд,  n

o

  –  концентрация  пар  ионов;  u



  и    u



 

подвижности  ионов  – 

скорости  ионов  при  напряжѐнности,  равной  единице  соответственно;  E  –  напряжѐнность 

электрического поля между электродами.  



 

76 


                                       I 

 Рис.19.4 

 

Здесь коэффициент при Е, равный γ = qn



o

(u

+

 + u

-

), - величина постоянная. Значит, уравнение 

(3.8.8) представляет собою закон Ома, т.е: 



j = γ E , 

где γ – удельная проводимость газов. С дальнейшим ростом U  рост тока  замедляется. По 

достижении напряжением значения 

н

 наступает насыщение тока. Это означает, что все  N

пар  ионов,  образующиеся  под  внешним  воздействием  за  единицу  времени,  достигают 

электродов. Поэтому ток насыщения  

                                                                       I

н 

 = qN



                                                             (3.8.9) 

т.е.  его  величина  зависит  от  интенсивности  ионизации  –  N



o

.    Следовательно, 

несамостоятельный газовый разряд гаснет с прекращением действия ионизатора. 

        Если  этого  не  происходит,  т.е.  газовый  разряд  продолжается  и  после  отключения 

источника внешнего воздействия на газовую среду, то процесс называется самостоятельным 

газовым разрядом. Это можно объяснить тем, что с поверхности отрицательно заряженного 

электрода  –  катода  К  (рис.  19.5)  вылетают  отдельные  электроны.  При  сильных 

электрических полях между электродами они приобретают большую скорость и оказываются 

способными  произвести  ионизацию  атомов  газа.  Оторванный  от  атома  электрон  вместе  с 

первоначальным электроном устремляются к электроду А (аноду), ускоряются  и производят 

вторичную  ионизацию.  Возникшие  при  этом  электроны  также  ускоряются  и  т.д.  То  есть 

число электронов возрастает лавинообразно.                                                                  

Рис.19.5 

      Обратимся  к  рисунку  19.5.  Пусть  число  вылетающих  с  поверхности  электрода  К 

электронов N

o

. Число электронов, долетающих до слоя dx, находящегося от К на расстоянии 



X достигает N>N

o

. Тогда число электронов в слое dx 



                                                                          dN = αN dx ,                                                     (3.8.10) 

где α – коэффициент пропорциональности. После разделения переменных и интегрирования, 

получим : 

                                                                      ℓn N = α X + C,                                                    (3.8.11) 

где  С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных  условий. В данном случае 

при X=0,  N=N

o

.  Следовательно С = ℓn N



o

 и из (3.8.11) после потенцирования имеем: 



 

77 


                                                                             

ax

e

N

N

0



.                                                    (3.8.12) 

Если расстояние между электродами , то  



                                                                            



a



e

N

N

0



 ,                                                    (3.8.13) 

т.е. такое число электронов достигают анода. Соответствующая сила тока  



                                                                        



a



e

N

qN

I

0





 ,                                                (3.8.14) 

где  q  –  заряд  электрона.  С  учѐтом  того,  что,  согласно  формуле  (3.8.9),  qN



o

=I

н 

–  ток 


насыщения, выражение (3.8.14) можно переписать так: 

                                                                           I = I

н

 e

α 

  .                                                       (3.8.15) 

Из  (3.8.15)  видно,  что  ток  при  самостоятельном  газовом  разряде  возрастает  в  e



α  ℓ 

раз.  Ток 

возрастает  в  десятки  тысяч  раз  и  он  поддерживается  электронами  самой  газовой  среды, 

образующихся  при  ударной  ионизации.  В  результате  газ  может  достичь  такой  высокой 

степени  ионизации,  что  в  его  элементарном  объѐме  суммарный  заряд  электронов  окажется 

равным  суммарному  заряду  положительных  ионов.  Такой  газ  называется  газоразрядной 

плазмой. 

         Приведѐнные  несамостоятельный  и  самостоятельный  разряды  находят  широкое 

практическое  применение.  Они,  например,  положены  в  основу  устройства  различных 

осветительных и измерительных приборов.     



Литература: 

Осн. 2 [98-113], 7 [205-225], 8 [180-203]. 

Доп. 22 [108-127]. 

Контрольные вопросы: 

1. Что понимают под сторонними силами и какова их роль в цепи постоянного тока? 

2. Поясните физический смысл электродвижущей силы, напряжения и разности потенциалов 

на участке электрической цепи. 

3. На чем основаны правила Кирхгофа? 

 

  



 

 


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
білім беретін
Барлы конкурс
республикасы білім
бойынша жиынты
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
идаларын бекіту
Республикасы кіметіні
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
Мектепке дейінгі
дебиеті маманды
дістемелік материалдар
білім беруді
ауданы кіміні
жалпы білім
конкурс туралы
мектепке дейінгі
рметті студент
облысы бойынша
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
дарламасыны титулды
Конкурс жариялайды
дістемелік кешен
мерзімді жоспар
разрядты спортшы
мелетке толма
ызметтер стандарттарын
директоры бдиев

Loading...