Модуль Электрическое поле

Loading...


Pdf көрінісі
бет1/3
Дата13.04.2020
өлшемі0.8 Mb.
  1   2   3

 

58 


  

Модуль  3.  Электрическое поле. 

             Раздел  электричества,  который  занимается  физикой  неподвижных  зарядов, 

называется  электростатикой.  Известно,  что  в  природе  существуют  два  рода  электрических 

зарядов  –  положительных  и  отрицательных.  Установлено,  что  заряды  одинакового  рода 

отталкиваются  друг  от  друга,  а  разного  рода  притягиваются.  На  основании  ряда 

экспериментов  (Опыт  Р.  Милликена,  А.Ф.  Иоффе    и  др.)  показано,  что  в  природе  все 

электрические заряды состоят из дискретных зарядов,  и равных по модулю 1,6

10



-19 

Кл. Этот 

заряд  по  величине    равен  заряду  электрона.  Наименьшая,  устойчивая  частица,  обладающая 

таким  же  по  величине,  но  положительным  зарядом  является  протон.  Масса  электрона  и 

протона соответственно равна: 9,1 

 10



-31

кг и 1,67

 10


-27

кг.Обобщением большого количества 

опытных  данных  был  установлен  фундаментальный  закон  природы,  закон  сохранения 

заряда:  в  изолированной  системе  алгебраическая  сумма  зарядов,  т.е.  положительных  и 



отрицательных остается постоянной. Изолированной или замкнутой системой называется 

система, не обменивающаяся зарядами с внешними телами. 



1. Закон Кулона. 

           Основной  закон  взаимодействия  неподвижных  зарядов  установлен  Кулоном 

экспериментально.  До  формулировки  закона  Кулона  введем  понятие  точечного  заряда 

(аналогично  понятию  материальной  точки  в  кинематике),  заряда,  находящегося  на  теле 

линейные  размеры  которого  пренебрежно  малы  по  сравнению  с  расстоянием  до  других 

заряженных  тел,  с  которыми  этот  заряд  взаимодействует.  Причина  этого  введения,  станет 

понятной  чуть  позже.  По  закону  Кулона,  сила  взаимодействия  между  двумя  точечными 

зарядами,  находящимися  в  вакууме  пропорциональна  величинам  этих  зарядов  q

1

  и  q

2

  и 

обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними 

                                                                     

2

2

1



r

q

q

k

F

,                                                         (3.4.1) 



 

где  k  –  коэффициент  пропорциональности,  зависящий  от  выбора  системы  единицы.  Силы, 

действующие  между  зарядами  направлены  по  прямой,  соединяющей  заряды  т.е.  являются 

центральными. Для одноименных зарядов (q



1

  >0 и q



2 

>0) или (q



1

  < 0 и q



2 

< 0) сила F > 0 и 

для разноименных F < 0. В векторной форме закон Кулона записывается так: 

                                                                         

r

r

r

q

q

k

F



21

2



2

1

21



 ,                                           (3.4.2) 

где 


21

F

  -  сила,  действующая  на  заряд  2  со  стороны  заряда  1, 

21



r

-  радиус-  вектор, 

направленный от заряда 1 к заряду 2, 



21

r

r

. Таким образом, уравнение (3.4.2) кроме всего 

выражает,  что  одноименные  заряды  отталкиваются,  а  разноименные  притягиваются.  Если 

взаимодействующие заряды находятся не в вакууме, а в какой- либо среде, то закон Кулона 

записывается : 

                                                                      

2

2

1



r

q

q

k

F



 ,                                                      (3.4.3) 

где 


 - безразмерная величина, характеризующая электрические свойства среды и называется 

диэлектрической проницаемостью среды. Для вакуума 

  =  1.  Из  сравнения  формул  (3.4.1  и 



3.1.3) следует, что  

 показывает во сколько раз сила взаимодействия между двумя зарядами 



в данной среде отличается от силы их взаимодействия в вакууме. Коэффициент 



 в системе 

СИ равен: 


 

59 


                                                      

0

4



1





k

 ,                                                (3.4.4) 

где  



0



 = 8,85 

 10



-12

   Кл


2

/(Н


м

2



) или Ф/м и называется электрической постоянной. С учетом 

(3.4.3) и (3.4.4) закон Кулона можно записать: 

                                                                          

2

2



1

0

4



1

r

q

q

F




.                                            (3.4.5) 

Полезно знать, что : 

                                                                         



Ф

м

9

0



10

9

4



1





 . 


2. Электростатическое поле. Напряженность поля.  

          Согласно 

современным 

представлениям, 

взаимодействие 

между 


зарядами 

осуществляется через поле. Всякий заряд создает вокруг себя поле, которое обнаруживается 

тем,  что  на  любой  «пробный  заряд»,  помещенный  в  это  поле  оказывается  силовое 

воздействие. Заряд, применяемый для обнаружения поля, назван пробным для того,  чтобы 

подчеркнуть, что он сам по себе мал, и своим присутствием не искажает то поле, в которое 

он  внесен    (вследствие  возможного  перераспределения  создающих  поле  зарядов).  Таким 

образом, 

                                                                           



пр

q

F

E



  ,                                                   (3.2.1) 

где  F  –  сила,  действующая  со  стороны  поля  на  пробный  заряд.  Используя  закон  Кулона 

формулу (3.2.1) можно записать: 

                                                                   

r

r

r

q

E



2



0

4

1





                                                (3.2.2) 

или скалярно:       

                                                                      

2

0

4



1

r

q

E





.                                                   (3.2.3) 

Если  поле  создается  не  одним  зарядом,  а  системой  точечных  неподвижных  зарядов,  то 

напряженность  поля  равна  векторной  сумме  напряженностей  полей,  которые  создавали  бы 

каждый из этих зарядов в отдельности: 

                                                          









n

i

i

i

i

i

i

n

i

r

r

r

q

E

E

1

2



0

1

4



1



 ,                                (3.2.4) 



где r

i

  –  расстояние  между  зарядом  q



и интересующей нас точкой поля. Сформулированное 

положение  называют  принципом  суперпозиции  электрических  полей.  Из  него  вытекает,  что 

напряженность  поля  любой  системы  зарядов  можно  вычислить,  представив  ее  как 

совокупность  точечных  зарядов,  вклад  каждого  из  которых  можно  определять  по  формуле 

(3.2.2).  



3. Теорема Гаусса. 

                                    



n

            Пусть мы имеем элементарную площадку dS, 

                                   

                 нормаль 





n

 к которой в месте расположения 

        dS                             



          площадки, составляет с вектором 



  угол 



                                                   (рис. 14.5). Элементарным потоком dФ сквозь 

               Рис.14.5                                   площадку dS называют величину  



 

60 


dФ = E · dS · cos

 = E



n

 dS = 




·



dS 

 где  E

n

  -  проекция  вектора 





  на  направление  нормали 



к  площадке, 



dS -  вектор,  модуль 

которого равен dS, а направление совпадает с нормалью 



n

Для произвольной поверхности S поток вектора 





 сквозь нее можно записать:  

                                                                            







S



S

d

E

Ф

.                                                 (3.3.1) 

Следует  отметить,  что  в  случае  замкнутых  поверхностей  за  положительное  направление 

нормали 




 берется внешняя нормаль, т.е. направленная наружу поверхности . 

Рис.14.6 

Рассмотрим  поле  одного  точечного  заряда  q  (рис.14.6).  Проведем  вокруг  этого  заряда 

произвольную замкнутую поверхность и найдем поток вектора 



 сквозь площадку 



dS  

cos




dS

E

 



Подставив значение Е для точечного заряда, тогда   последнюю формулу можно записать: 

                                                    







d

q

dS

r

q

0

2



0

4

cos



4

1







  ,                                  (3.3.2) 



где 



d

  -  телесный  угол,  опирающийся  на  элемент  поверхности  dS  с  вершиной  в  точке 

расположения заряда q. Интегрируя выражение (3.3.2) по всему телесному углу мы получим 

0



q



Ф

 и заменив левую часть этого уравнения по (3.3.1) имеем: 



q

S

d

E

S

0

1







.  

Если  заряд  охватывает  поверхность  любой  формы,  то  угол 

  может  принимать  значения 



больше 

 



 2 , а значит, cos

 и 




d

 могут принимать значения, как больше нуля, так и меньше 

нуля.  Отсюда  следует,  что  если  заряд  расположен  вне  замкнутой  поверхности,  то  поток 

вектора 




 через нее равен нулю. В случае, когда поле создается системой точечных зарядов 

q

1



,  q

2



  q

n

  то  в  соответствии  с  принципом  суперпозиции  (3.2.4) 









n



E

E

E

E

2



1

 

поэтому: 





















dS

E

dS

E

S

d

E

E

S

d

E

2

1



2

1



Каждый  интеграл  в  правой  части  равен  q

i

  /



о

,  если  заряд  q



i

  находится  внутри  замкнутой 

поверхности.  Поэтому  в  правой  части  предыдущего  уравнения  мы  должны  записать 


 

61 


алгебраическую  сумму  зарядов  q

i

,  находящихся  внутри  поверхности  S.  Таким  образом 



окончательно можно записать: 

                                                                    







n

i

i

q

S

d

E

1

0



1

  .                                            (3.3.3) 



Данное уравнение математически выражает теорему Гаусса. Ее можно сформулировать так: 

поток  вектора  напряженности  электростатического  поля  в  вакууме  сквозь  произвольную 

замкнутую  поверхность  равен  алгебраической  сумме  зарядов,  заключенных  внутри  данной 

поверхности, деленной на 

0

. Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью 



dV

dq



, то суммарный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности, охватывающий 

объем V : 

                                                                        





n



i

V

i

dV

q

1



 .                                              (3.3.4) 

Используя формулу (3.3.4) теорему Гаусса можно записать: 

 

                                                                   







V

dV

S

d

E



0

1

   .                                      (3.3.5) 



 

4. Свойства электростатических полей. 

1. Работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле. 

Пусть,  в  поле  заряда  q  помещается  заряд  q

0

,  который  под  действием  сил  поля  заряда   



начнется перемещаться (рис.15.1). 

 

                                                  Рис.15.1 



Элементарная работа, совершаемая при этом будет равна: 

 

   



cos






d

F

dA

   


 

поскольку    

                                                          

dr

d



cos


 

 



dr

Eq

dr

F

dA



0



 

  или:          

                                                











2



1

2

0



1

0

0



2

0

0



4

1

4



r

r

r

qq

r

qq

r

dr

qq

A







.                                 (3.4.1)  

Из (3.4.1) следует, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит 

от формы пути перехода, а зависит от положения начальной и конечной точек перемещения, 

т.е. электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а лектростатические 



 

62 


силы консервативными. В случае, когда заряд q

0

 перемещается в поле системы зарядов, то на 



движущийся  заряд  по  принципу  суперпозиций  действует  сила 







n

F

F

F

F

3



1

  и  работа 

равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ соответствующих сил:  

                                               

















n



i

i

i

i

n

r

r

q

q

A

A

A

A

1

2



1

0

0



2

1

1



1

4





,                            (3.4.2) 

где r

i1

 и r



i2 

расстояния от заряда q

i

 до начальной и конечной точки перемещение заряда q



0

. Из 


формулы  (3.4.1)  также  следует,  что  работа,  совершаемая  при  перемещении  заряда  в 

электростатическом поле по замкнутому пути, равна нулю, т.е. 



0



dA

. Если перемещенный 

заряд,  принять за единицу, то (3.4.2) можно записать: 

0

cos







 









L



L

d

E

d

E

d

E



 

или 



 

                                                                            







L

d

E

0



.                                                       (3.4.3) 

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль замкнутого контура. 

Из теоремы о циркуляции вектора 



 можно сделать несколько важных выводов: 

1) 

Линии напряженности поля 





 не могут быть замкнутыми. 

Действительно, если это не так и какая-то линия вектора 



 замкнута, то взяв циркуляцию 



 

вдоль этой линии мы придем к противоречию с теорией (3.4.3) 

2) 


Существование электростатического поля вида, показанного на рис. 15.2 

невозможно. 

 

 

 



  

 

 



 

 

 



Рис.15.2 

В  самом  деле,  если  применить  к  этому  полю  теорему  о  циркуляции  вектора 



  по 

замкнутому контуру, показанному на рис. 15.2 пунктиром, то она была бы отлична от нуля, 

что противоречит теореме. 

 

2. Потенциал электростатического поля. 

Запишем формулу (3.4.1) следующим образом:  

                                                    

2

0



0

1

0



0

2

1



4

1

4



1

r

qq

r

qq

W

W

A

p

p









 ,                               (3.4.4) 

откуда,  вспоминая,  что  работа  консервативных  сил  равна  убыли  потенциальной  энергии 

можно прийти к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q

0

 в поле заряда 



q: 

                                                                



C

r

qq

W



0

0

4



1



 .                                                   (3.4.5) 



 

63 


Значение константы С в выражении (3.4.5) выбирается так, чтобы при удалении заряда q

0

 в 



бесконечность потенциальная энергия обращалась в нуль. При таком условии потенциальная 

энергия заряда q

0, 

находящегося в поле заряда q



 

на расстоянии r от него равна q

                                                                      



r

qq

W

0

0



4

1





  .                                                   (3.4.6) 

С  другой  стороны,  последнюю  формулу  можно  считать    выражением  энергии  заряда  q, 

находящегося  в  поле  заряда  q

0

.  Таким  образом,  энергия,  выражаемая  формулой  (3.4.6) 



является взаимной энергией зарядов q и q

0 . 


Из  формулы  (3.4.6)  следует,  что  отношение  W/q

0

  для  данной  точки  поля  не  зависит  от 



величины  заряда  q

0

.  Поэтому  это  отношение  может  служить  энергетической 



характеристикой электростатического поля, которая  называется потенциалом поля. 

                                                                           

0

q

W



  .                                                           (3.4.7) 

Из (3.4.7) следует, что потенциал какой-либо точки поля численно равняется потенциальной 

энергии единичного, положительного заряда, помещенного в эту точку поля. Из выражений 

(3.4.6) и (3.4.7) следует, что потенциал поля точечного заряда q равен: 

                                                                      

r

q

0

4







 [В].                                                      (3.4.8) 

Работу по перемещению заряда из одной точки в  другую (3.4.4), с учетом формулы (3.4.8), 

можно записать: 

                                                                       



2



1

0





q

A

,                                                   (3.4.9) 

т.е.  работа  по  перемещению  заряда  в  электрическом  поле,  равна  произведению  величины 

заряда  на  разность  потенциалов    в  начальной  и  конечной  точках  перемещения.  Если  поле 

создается не одним зарядом, а системой зарядов q

1

, q



2

, …q


n

, то с учетом формулы (3.4.2) для 

потенциальной энергии заряда q

0

 в поле системы зарядов получим: 



                                                                       





n

i

i

o

i

r

q

q

W

1

0



4

1





                                             (3.4.10) 

из которого уже следует, что: 

                                                                        

i

i

n

i

r

q



1

0



4

1





 .                                           (3.4.11) 

Сопоставляя формулы  (3.4.8) и  (3.4.11) можно сделать вывод, что потенциал поля системы 

зарядов  равен  алгебраической

 

сумме  потенциалов,  создаваемых  каждым  из  зарядов  в 



отдельности. 

Здесь  вспомним,  что  вторая  характеристика  электростатического  поля  напряженность 



  в 

случае,  когда  поле  создается  системой  зарядов,

 

определялась  как  векторная  сумма 



напряженностей  отдельных  зарядов.  Если  заряды,  образующие  систему  распределены  по 

объему с объемной плотностью 

, то выражение (3.4.11) можно записать в следующем виде: 



                                                                    





r

dV





0

4



1

 ,                                            (3.4.12) 

причем интегрирование производится по всему пространству, где содержатся заряды. Если 

заряды расположены на какой-либо поверхности S, то: 

                                                                      





r

dS





0

4



1

,                                               (3.4.13) 

где 



- поверхностная плотность заряда. dS элемент поверхности S. 



3. Связь  между потенциалом 



 и напряженностью электрического  поля 



E . 

         Найдем  связь  между  двумя  характеристиками  электростатического  поля 

напряженностью и потенциалом.  



 

64 


Работа по перемещению заряда q

0

 вдоль оси  х на dx равна dA=q



0

 E

х

 dx. С другой стороны, та 

же работа равна dА=q



0

 d



. Приравняв правые стороны этих выражений получим: 

                                                                          

dx

d

E

x



   .                                                   (3.4.14) 

Рассуждая аналогичным образом, для осей y и z можем вектор 



 записать так: 

                                                                 















k

dz

d

j

dy

d

i

dx

d

E



,                                   (3.4.15) 

где 







k

j

i

,

,



- единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей х, у, z. Вспомнив 

определение градиента, последнее уравнение можно записать: 

                                                               



grad



E



 или 




E

  





 ,                                   (3.4.16) 

т.е. 


напряженность 



 

поля 

равна 


антиградиенту 

потенциала. 

Графически 

электростатические поля можно изобразить не только с помощью силовых линий как было 

показано  раньше  (рис.14.3  и  14.4),  но  и  с  помощью  так  называемых  эквипотенциальных 

поверхностей.  Эквипотенциальными  поверхностями  называются  поверхности,  на  которых 

все  точки  имеют  одинаковые  потенциалы.  Если  поле,  например,  создается  точечным 

зарядом, то согласно формуле 



r

q

0

4



1





 эквипотенциальны поверхности представляют  из 

себя    концентрические  сферы  (рис.15.3).  Раньше  мы  видели,  что  силовые  линии  точечного 

заряда направлены по радиусам, т.е. тогда эквипотенциальные поверхности и силовые линии 

взаимно ортогональны. 

Рис.15.3 

 

На  рисунке  силовые  линии  проведены  пунктиром.  Изменение  густоты  (частоты) 



эквипотенциальных  поверхностей  соответствует  изменению  значения    потенциала.  Чем 

дальше  от  заряда,  тем  реже  эквипотенциальные  поверхности.  Зная  направление 

эквипотенциальных поверхностей, можно построить силовые линии и наоборот 

 



Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
бойынша жиынты
жалпы конкурс
білім беретін
Барлы конкурс
республикасы білім
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
дістемелік сыныстар
Конкурс ткізу
стандарттарын бекіту
мемлекеттік мекемесі
Мектепке дейінгі
дебиеті маманды
дістемелік материалдар
білім беруді
жалпы білім
ауданы кіміні
конкурс туралы
мектепке дейінгі
рметті студент
облысы бойынша
мерзімді жоспар
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
разрядты спортшы
мелетке толма
директоры бдиев

Loading...