«Математикалық регата» республикалық олимпиадасының I (бірінші) кезең тапсырмасы



Pdf көрінісі
Дата16.10.2019
өлшемі0.5 Mb.

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының I (бірінші) кезең тапсырмасы 

(

І кезеңнің барлық шешілген тапсырмаларына команда 18 ұпай ала алады (яғни, әрбір 



дұрыс шешілген тапсырмаға алты ұпайдан)   10 минут І кезең тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

I −1.

 

Жайылымдық  алқаптың  шөбі  біркелкі  және  бірдей    жылдамықпен 

өседі.  Алқаптың  шөбін  70  жылқы  24  күнде,  30  жылқы  60  күнде  жеп 

тауысады. Осы алқаптың шөбін 96 күнде қанша жылқы жеп бітіреді.  

 

Шешуі: 

1-ші тәсіл 

Бір жылқының бір күнде жейтін шөбінің мөлшерін 1 бөлік деп алайық. 

1)24 күннен кейінгі шөптің мөлшері: 70∙24=1680 (бөлік). 

2)60 күннен кейінгі шөптің мөлшері: 30∙60=1800 (бөлік). 

3)36 күнде өсетін шөптің мөлшері: 1800 −1680 = 120 (бөлік). 

4)96 күннен кейінгі алаңдағы шөптің мөлшері: 1800 +120 = 1920 (бөлік). 

5)Алқаптың шөбін қанша жылқы 96 күнде жеп тауысады: 1920:96= 20жылқы. 

 

2-ші тәсіл. Алқапта өсіп тұрған шөп мөлшерін  y деп, күн сайын өсіп қосылатын 

шөп мөлшері  x деп белгілейік. 

Онда 70 жылқы 24 күнде жейтін шөпмөлшері  y+24x, 30 жылқы 60 күнде жейтін 

шөпмөлшері y+60x болады. Пропорция құрайық : 



x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

480


840

14

360



15

60

24



15

14

60



24

60

30



24

70









 



Алқапта  дайын  өсіп  тұрған  шөп  күндік  өсіп  қосылатын  шөптен  480  есе  артық 

екен. 


70 жылқы   24 күнде     504x      шөп 

t жылқы       96 күнде    y+96x    шөп 

70   ---   24  ---   504x 

t      ---   96 ---   576x 

8

7

2



35

576


504

96

24



70





t



x

x

t

;                

20

280


14



t

t

 

Жауабы: 20 жылқы. 



 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының I (бірінші) кезең тапсырмасы 

(

І кезеңнің барлық шешілген тапсырмаларына команда 18 ұпай ала алады (яғни, әрбір 



дұрыс шешілген тапсырмаға алты ұпайдан) 10 минут І кезең тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

I

 −2. 

 

 (

 

 



       )

 

  (  



 

       )


 

  (  


 

        )

 

 теңдеуін шеш. 

 

Шешуі: 

Белгілеу еңгізіп көбейткішке жіктеп  көрелік. 

 

 

       =a ,  



 

       =b 

 

       )



 

  (  


 

       )


 

  (( 


 

       )   (  

 

       ))



 

  

 



 

   


 

  (     )

 

  (a+b)( 



 

        


 

) =(


     )

 

  



 (a+b)(

 

 



        

 

  ( 



 

         

 

))=0   (a+b)(-3ab) =0  [



     

     


         

 

[



 

 

           



  

 

           



  

 

            



  x=  

 

 



;2;

  √  


 

;

  √ 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының I (бірінші) кезең тапсырмасы 

(

І кезеңнің барлық шешілген тапсырмаларына команда 18 ұпай ала алады (яғни, әрбір 



дұрыс шешілген тапсырмаға алты ұпайдан)  10 минут І кезең тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

I −3. 

АВС  үшбұрышының  А  және  С  төбелерінен  жүргізілген  биіктіктері 

үшбұрыштың ішінде қиылысады жәнеде қиылысу нүктесі бір биіктікті қақ, 

ал келесі биіктікті 2:1 қатынаста бөледі. Олай болса В төбесінің бұрыштық 

шамасын тап. 

 

Шешуі:  

А

 



 

  және  С

 

 

  биіктіктерінің  қйылысу  нүктесін  К  деп  белгілейік.Онда  есептің 



шарты  бойынша  АК=K

 

 



;  CK=2K

 

 



болады.СК  кесіндісінің  ортасын  М  деп 

белгілесек  КМ

 

 

  және  К



 

 

А  үшбұрыштары  өзара  тең  болады(үшбұрыштар 



теңдігінің  1-ші  белгісі  бойынша).  Бұдан  А

 

 



=  M

 

 



болады.Тікбұрышты 

үшбұрыштың медиананың қасиеті бойынша M

 

 

=



  

 

 .Яғни А



 

 

= MК = К



 

 

.Онда 



КА

 

 



үшбұрышы  теңбүйірлі  тікбұрышты  дегеннен 

    


 

=

  



 

болады.  Онда 

А

 

 



В тікбұрышты үшбұрышынан 

  =  


 

      


 

=

  



 

 болады. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының II (екінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  21  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға жеті ұпайдан)       15 минут ІІ кезең тапсырмаларын 

шешуге берледі)



 

 

II −1. 

 

27000001 

санын  жай  сандардың  көбейтіндісіне  жіктеп,  жай 

көбейткіштердің қосындысын тап. 

 

Шешуі: 

27000001=27000000+1=

   

 

+



 

 

=(



       )(   

 

             



 

)        (   

 

 

           



 

         )=301∙((       )

 

     )=301∙(301+30)(301-



30)=301∙271∙331=7∙43∙271∙331.271 және 331 сандарының жай немесе құрама сан 

екенін  2,3,5,7,11,13  ˂ 

√   ,  2,3,5,7,11,13,17  ˂  √     сандарына  бөлу  арқылы 

тексереміз. Олай болса 7+43+271+331=652. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының II (екінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  21  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға жеті ұпайдан)       15 минут ІІ кезең тапсырмаларын 

шешуге берледі)



 

 

II −2. 

k-ның қандай мәнінде (k-2)

 

 



-2(k+3)x+4k = 0 теңдеуінің бір түбірі 2-ден 

кіші, бір түбірі 3-тен үлкен болады. 

 

Шешуі:  

f(x) =(k-2)

 

 

-2(k+3)x+4k функциясы үшін 2  жағдай алып көрелік.  



а) k > 2 болсын (яғни параболаның тармағы жоғары қараған делік).Бұл жағдайда 

{

     



 ( )    

 ( )    


  {

     


 (     )    (     )         

 (     )    (     )         

  {

     


       

       


 

k

 (2;5) 



ә) k ˂ 2 болсын (яғни параболаның тармағы төмен қараған делік).Бұл жағдайда 

{

   



 ( )    

 ( )    


  {

   


 (     )    (     )         

 (     )    (     )         

  {

   


       

       


 

k

   . Жауабы k (2;5). 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының II (екінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  21  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір  дұрыс  шешілген  тапсырмаға  жеті  ұпайдан)                  15  минут  ІІ  кезең 

тапсырмаларын шешуге берледі)



 

 

II −3. 



ABCD 

дөңес 

төртбұрышы 

үшін 

    =  

 

,

      =  

 

,

      =  

 

,

     =  

 

  болса,  осы  төртбұрыштың 

диагоналдарының арасындағы бұрышты тап. 

 

Шешуі: 

ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді 

  деп белгілейік. BD түзуінің   

шеңберімен  қиылысу  нүктесін    E  деп  белгілейік.Тең  доғаға  тірелген  шеңберге 

іштей сызылған бұрыштар өзара тең болатындықтан, 

    =     =  

 

 болады. 



      бұрышы  DEC  үшбұрышының  сыртқы  бұрышы  жәнеде    =  

 

 



болғандықтан,

     =  


 

болады.Онда  ED=DC  болады.  Дәл  осылайша  ED=AD 

болатындығы  дәлелденеді.  Осылайша  D-нүктесі  біз  алып  көріп  отырған

  

шеңберінің  центрі  болып  табылады.  Жәнеде 



    =

 

 



(   

 

     



 

)     


 

Осылайша



     =  

 

    



 

    


 

 болады . 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының III (үшінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  24  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға сегіз ұпайдан) 20 минут ІІІ тапсырмаларын шешуге 

беріледі) 

 

III −1. 

Кез келген 10 натурал сан берілген. Бұлардың кез келген екеуін алып, 

олардың  қосындысы,  айырмасы,  көбейтінділерінің  абсолют  шамасын  

белгіледік.  Белгілеген  сандардың  ішінде  ең  көп  қанша  тақ  сан  болуы 

мүмкін? 

 

Шешуі:  

Берілген  10  санның  k  саны  тақ,  10-k  саны  жұп  болсын.  Олай  болса 

белгіленген  сандардың  ішінде  қосындысы  тақ  сан  болатын  k(10-k)  сан  бар.  Ал 

айырмасының  модулі  тақ  сан  болатын  да  k(10-k)  сан,  ал  көбейтіндісі  тақ  сан 

болатын 

 

 



k(k-1)  сан  бар.  Олай  болса  белгіленген  сандардың  ішінде  барлығы 

N=k(10-k) + k(10-k) + 

 

 

k(k-1) = 2k(10-k) +



 

 

k(k-1) тақ сан бар.Түрлендірейік:  



N  =  2k(10-k)  +

 

 



k(k-1)= 

 

 



  (39k-3

 

 



)= 

 

 



((

  

 



)

 

  (



  

 

   )



 

)осынша  тақ  сан  бар. 

Бұдан k-ны таңдай отырып k=6 немес k=7 деп таба аламыз. Осы мәнде ғана N ең 

үлкен мән қабылдай алады. Екі  жағдайда да N=63 деп шығады, онда ең көп 63 

тақ сан бар. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының III (үшінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  24  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға сегіз ұпайдан) 20 минут ІІІ тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

III −2. 

 

a,b  сандары  ab  >  2018a+2019b  болатын  оң  сандар  болса,  онда             

a+b >

 (√       √    )

 

  теңсіздігін дәлелде. 



 

 

Шешуі: 

ab > 2018a+2019b теңсіздігінің екі жағын 

   

  

өрнегімен көбейтсек, a+b ˃ 



    (   )

 

 



    (   )

 

  болады.Коши теңсіздігін қолдансақ: 



    (   )

 

 



    (   )

 

= 2018+



     

 

 



     

 

 +2019 ≥ 2018+2∙√



     

 

 



     

 

+2019= 



(√       √    )

 

деп шығып теңсіздік  дәлелденді. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының III (үшінші) кезең тапсырмасы 

(

ІІІ  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  24  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға сегіз ұпайдан) 20 минут ІІІ тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

III −3. 

ABCD  трапециясы  үшін    (AD

 BC)  2·    =      және  BC=AC=5, 



AD=6 болса, трапецияның ауданын тап.  

 

 

 

Шешуі:  

CB=CA  және

    =2·      болатындықтан,  шеңбер  центрі  туралы  теорема 

бойынша  D нүктесі, центрі C нүктесі болатын радиусы CB болатын шеңбердің 

бойында  жатыр.Осылайша  ACD  үшбұрышы  теңбүйірлі  болып  табылады.  C 

төбесінен түсірілген биіктікті h десек  h=

√ 

 

   



 

 осылайша S=

   

 

·4=22. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Математикалық регата» 

республикалық олимпиадасының ІV (төртінші) кезең тапсырмасы 

(

ІV  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  27  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға тоғыз ұпайдан) 25 минут ІV тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

ІV −1. 

Егер 

 

 



 

 

    



 , k=1,2,3,...,2004 болса, 

 

 



 

    


 

   


 

 

 



 

 

 



    

 

   



 

 

     



 

    


 

    


    

   


    

 

  қосындының мәнін тап. 



 

 

 

Шешуі: 

f(x)= 


 

 

       



 

деп  белгілеу  еңгізейік.  Онда 

 

 

       



 

 



 

(   )


 

  

 



болғандықтан 

f(x)+f(1-x)  =1  болады.Олай  болса 

 

 

 



    

 

   



 

 

 



 

 

 



    

 

   



 

 

     



 

    


 

    


    

   


    

 

  = 



(f(

 

 



)+f(

 

    



))+  (f(

 

 



)+f(

 

    



))+…+  (f(

 

    



)+f(

 

    



))  =

             

⏟        

    


=  1002 

болады. 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математикалық регата»  

республикалық олимпиадасының ІV (төртінші) кезең тапсырмасы 

(

ІV  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  27  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға тоғыз ұпайдан) 25 минут ІV тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

ІV−2. 

      


 

 санының иррационал болатындығын дәлелде. 

 

 

Шешуі:  

Бұл есептің әр түрлі шешімі бар соның біреуін ғана көрсетейік. 

Кері жорып 

      


 

 рационал сан деп көрейік.Олай болса 

      

 

=



 

 

 теңдігінен 



2

      


 

=1. 


                    (     )

 

 формуласын пайдалансақ:   



      

 

=



       

  

 



=3

      


 

-4(


      

 

)



 

  

1= 2(



        

 

   (      



 

)

 



)=6      

 

-8(



      

 

)



 

деп шығады . 

 Олай болса 8(

      


 

)

 



         

 

   = 0 куб теңдеу шығарып аламыз  .       



 

 

=t деп белгілеу еңгізсек 8



 

 

             теңдеуі шығады.Егер теңдеудің 



рационал  түбірі болса болса ол түбірі 

  ;  


 

 

;



  

 

 



;

  

 



 

;  түрінде болу қажет t-ның 

осы мәндерін  8

 

 



             теңдеуіне қойып тексеру арқылы t- ның мәндері 

рационал емес екеніне көз жеткіземіз.Олай бол t- ның мәні иррационал. Яғни 

      

 

 иррационал  сан болады. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математикалық регата»  

республикалық олимпиадасының ІV (төртінші) кезең тапсырмасы 

(

ІV  кезеңнің  барлық  шешілген  тапсырмаларына  команда  27  ұпай  ала  алады  (яғни, 



әрбір дұрыс шешілген тапсырмаға тоғыз ұпайдан) 25 минут ІV тапсырмаларын шешуге 

беріледі)



 

 

ІV −3. 

АВС  үшбұрышының  А  бұрышының  шамасы 

  

 



.  В

 

 



  және  С

 

 



 

биссектрисалары О нүктесінде қиылысады. Онда О

 

 



 және О

 

 



 кесінділері 

тең болуға болама

 

Шешуі: 

Тең 


болады. 

Себебі 


 

         

 

  

 



=

   


 

  



 

  

 



+

  =   


 

 

 



 

  

 



 төртбұрышына 

сырттай 


шеңбер 

сызуға 


болады.О- 

нүктесі 


биссектрисалардың 

қиылысу 


нүктесі 

дегеннен 

  

 

 



 

 =  


 

  =  


 

  

 



 

 

 =  



 

  =  


 

  (тең  доғаға  тірелген  бұрыштар).Олай 

болса 

  

 



  

 

 тең бүйірлі, яғни О



 

 

 және О



 

 

 кесінділері өзара тең. 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Достарыңызбен бөлісу:




©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
Сабақтың тақырыбы
Сабақтың мақсаты
бойынша жиынтық
Сабақ тақырыбы
жиынтық бағалау
ғылым министрлігі
рсетілетін қызмет
Жалпы ережелер
тоқсан бойынша
қызмет стандарты
бекіту туралы
бағалауға арналған
Сабақ жоспары
Әдістемелік кешені
Қазақстан республикасы
тоқсанға арналған
жиынтық бағалаудың
туралы хабарландыру
жиынтық бағалауға
арналған жиынтық
бағалау тапсырмалары
арналған тапсырмалар
білім беретін
республикасы білім
Қазақстан республикасының
бағалаудың тапсырмалары
мерзімді жоспар
Қазақстан тарихы
пәнінен тоқсанға
Жұмыс бағдарламасы
арналған әдістемелік
біліктілік талаптары
әкімінің аппараты
Қазақ әдебиеті
туралы анықтама
Мектепке дейінгі
мамандығына арналған
нтізбелік тақырыптық
қойылатын жалпы
жалпы біліктілік
Конкурс туралы
мемлекеттік әкімшілік
болып табылады
оқыту әдістемесі
жалпы конкурс
Реферат тақырыбы
қатысушыларға қойылатын
Қазақстан облысы
әдістемелік ұсыныстар
әдістемелік кешені
тақырыптық жоспар