Математика мұҒалімінің КӘсіби-педагогикалық дайындығЫ

Loading...


бет8/9
Дата14.04.2020
өлшемі0.56 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

өрнегінің сондай-ақ онымен бірге өрнегінің де мәні п өскен сайын кішірейе береді. Сондықтан, оң саны қаншалықты кішкене болғанмен де, барлық мәндері үшін,

теңсіздігі орындалатындай N нөмірін көрсетуге болады.

Дербес жағдайда, төмендегі теңсіздіктер орындалатындай етуге болады:

(=0,01)

()

т. с. с. Алайда, Дәлелдеу керегі де осы.

Шектелген және шектеусіз сан тізбектері

1-теорема. Сан тізбегінің біреуден артық шегі бола алмайды.

Дәлелдеу үшін қарсы жориық. Қандай да бір а1, а2, a3,... сан тізбегінің бірнеше шегі бар болсын делік. Мысалы, а мен b осындай екі шек болсын. Анықтық үшін а < b деп алайық. Енді санын (а -, а +) және (b-, b+) кесінділері бірінің үстіне бірі түспейтіндей етіп, таңдап алайық (11-сурет). Бұлай болғанда осы сан тізбегінің қандай да бір саннан бастап барлық сандары (а -, а +) кесіндісінде де, (b-, b+) кесіндісінде де жатуы тиіс. Ал, бұлай болуы мүмкін емес, өйткені бұл кесінділердің ортақ элементі жоқ. Қайшылыққа келдік, демек, әр түрлі екі шегі бар деп жоруымыз дұрыс емес.

( ) ( )



a- a a+ b- b b+
Cурет 11
Сонымен, кез-келген сан тізбегінің біреуден артық шегі бола алмайды, теорема толығымен дәлелденді. Ал сан тізбегінің кез-келгенінің шегі бола бере ме? Бұл жағдайды анықтау үшін, жалпы мүшесі болатын

-1, 1, -1, 1, -1, 1, ... сан тізбегін қарастырайық.

Тақ орында тұрған оның әрбір мүшесі сан түзуінде абсциссасы -1-ге тең нүктемен кескінделеді, ал жұп орында тұрған әрбір мүшесі абсциссасы 1-ге тең нүктемен кескінделеді. Осыдан, егер де бұл тізбектің шегі бар болса, онда оның не -1-ге, не 1-ге тең болатыны көрінеді. Мысалы, тізбектің шегі бар және ол-1-ге тең делік. Бұлай болғанда тізбектің қандай да бір мүшесінен бастап кейінгі барлық мүшелері, мысалы, (-1 -0,1; -1+0,1) не (-1, 1; -0,9) интервалында болуы тиіс, ал бұл санына сәйкес (208-сурет). Бірақ бұлай болмайды, өйткені 1-ге тең мүшелер бұл интервалға енбейді.
-1,1 -0,9

( ) 0 1
Cурет 12


Біздің де қарастырып отырған тізбектің шегі бола алмайтындығы осы жолмен дәлелденеді.

Сонымен, -1; 1; -1; 1; ... тізбегінің шегі болмайды.

Тағы бір мысал үшін сандардың натурал қатарын қарастырайық:

1, 2, 3, ... ,n, … .

Сан түзуінің осы тізбек мүшелеріне сәйкес нүктелері ешбір нүктенің маңына топталмайды. Сан түзуінің бойынан қандай нүктені алсақ та, натурал қатар сандарына сәйкес нүктелер оны ертелі-кеш «аттап өтіп», оңға карай мейлінше алыстап кете береді. Олай болса, сандардың натурал қатарының да шегі болмайды.

Сан тізбегінің шегі болса, шектелген тізбек деп, ал шегі болмаса, шектеусіз тізбек деп аталады.

Мысалы, мына тізбектер:



және шектелген болады, ал:

-1, 1, -1, 1 -1, 1,… және 1, 2, 3, 4, … тізбектері шектеусіз.



Монотонды және шектелген сан тізбегінің шегі.

Жоғарыда сандық тізбектің қай-қайсысының болса да шегі бола бермейтінін көрдік. Енді мынадай сұрақ туады: қай тізбектің жинақты екендігін қалай білуге болады? Бұл сұрақтың толық жауабы мектеп бағдарламасына кірмейді. Дегенмен, жинақты сан тізбектерінің бір топ класымен қарастырайық. Дәлелдеусіз мынандай теоремаларды келтірейік.

2-теорема. Қандай болмасын монотонды үдемелі (кемімейтін) және жоғарыдан шектелген сан тізбегі жинақты болады.

3-теорема. Қандай болмасын монотонды кемімелі (өспейтін) және төменнен шектелген сан тізбегі жинақты болады.

Бұл теоремаларды дербес екі мысалмен түсіндірейік.

1 - м ы с а л. Мына

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...

тізбегі санының кемімен алынған ондық жуық мәндерінен құралған. Бұл тізбек монотонды өспелі (дәлірек айтқанда, монотонды кемімейтін) тізбек болып табылады, өйткені оның әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, алдындағы мүшеге өзіне сәйкес ондық белгіні тіркеп жазғанда шығады. Сонымен бірге, ол тізбек жоғарыдан шектелген, өйткені оның қай мүшесі болса да 2-ден кем. Олай болса, берілген тізбектің 2-теорема бойынша шегі болады. (Ол шек иррационал саны болып табылады.)

2 мысал. Қандай да бір шеңберге іштей сызылған дұрыс 4, 8, 16,... бұрыштардың периметрлерінен құралған

тізбегі монотонды үдемелі және жоғарыдан шектелген. Олай болса, 2-теорема бойынша бұл де шегі болады.

Қандай да бір шеңберге сырттай сызылған дұрыс 4, 8, 16,... бұрыштардың периметрлерін құрайтын



тізбегін қарастырып та, жоғарыдағыдай қорытындыға келуге болады. Ол үшін 3-теореманы пайдалануға тура келеді.

Сол, жоғарыда келтірілген екі теореманы біріктіріп, бір теорема түрінде қарастыруға болады:

Кез-келген монотонды және шектелген сан тізбегінің шегі болады.



е саны

Жалпы мүшесі болатын шектеусіз



сан тізбегінің шегі болатынын және оның е саны екенін көрсетуге болады.





е=2,7182818284... екендігі есептеп шығарылған.

Кейде қандай да бір санды жадында сақтау үшін, ол санның цифрларын айрықша бір датамен байланыстырады. Мысалы, 1828—Лев Толстойдың туған жылы екендігін ескерсек, е санының үтірден кейінгі алғашқы тоғыз цифрын еске сақтау оңай болатындығы анық.



е саны иррационал сан болып табылады. Тіпті ол, француз математигі Эрмиттің (1822—1901) көрсеткеніндей, бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің ешбірінің де түбірі бола алмайды. Мұндай иррационал сандар трансцендентті сандар деп аталады

(3.9) шек — көптеген математикалық зерттеулерге негіз болып табылатын тамаша шектердің бірі, е саны математикада ерекше рөл атқарады.

Айнымалы шамалар және олардың шектері.

Кез-келген сан тізбегінің жалпы мүшесін айнымалы шама ретінде қарастыруға болады.

Мысалы, шегінің жалпы мүшесі болады. n-нің әр түрлі мәндерінде ап шамасының сан мәндері түрліше болады, сондықтан да ол айнымалы шама болып табылады.

Сонымен, сан тізбегінің қайсысын болса да қандай да бір айнымалы шамамен байланыстыруға болады. Кері ұйғарым, жалпы айтқанда, дұрыс емес.

Мысалы, уақытты өрнектейтін айнымалы шама t-мен, ешқандай сан тізбегін байланыстыру мүмкін емес. Сан тізбегінің мүшелері секірмелі түрде өзгереді. Егер, біз сан тізбегінің мүшелерін сан түзуінің нүктелерімен өрнектейтін болсақ, онда сан түзуін біз түгелдей толтыра алмаймыз.

Ал уақытқа келгенде жағдай басқаша. Уақыт үздіксіз өтеді. Сондықтан уақыттың барлық мезетін қандай да бір сан тізбегінің мүшелері ретінде нөмірлеу мүмкін емес.

Біз осы бөлімде қандай да бір сан тізбектерінің жалпы мүшелері ретінде қарастыруға болатындай айнымалы шамаларды ғана карастырамыз. Мұндай айнымалы шамаларды біз ап, bn, сп т. с. с. символдарымен белгілейтін боламыз.

Айнымалы ап шамасының шегі деп жалпы мүшесі сол ап болатын сан тізбегінің шегін айтады.

Мысалы, айнымалы шамасының шегі анықтама бойынша ,,… тізбегінің шегі болып табылады.

Айнымалы шаманың шегін былай да анықтауға болатындығы түсінікті:

Егер кез келген оң саны үшін, барлық п >N мәндерінде

теңсіздігі орындалатындай N нөмірін көрсету мүмкін болса, онда а саны айнымалы ап шамасының шегі деп аталады,

Сан тізбектері сияқты, айнымалы шамалардың да шегі болуы да, болмауы да мүмкін. Мысалы, айнымалы шамасының шегі бар, айнымалы шамасының шегі жоқ.

Айнымалы шамаларға да тұрақты шамаларға (яғни сандарға) қолданылған амалдарды қолдануға болады. Мысалы, айнымалы шамасын 3-ке көбейтіп, айнымалы шамасын шығарып аламыз.

Айнымалы мен шамаларын қосқанда айнымалы шама шығады.

Шектер жөніндегі негізгі теоремалар.

Айнымалы ап шамасының қандайының болса да жағдайда шегі бола бермейтіні ескертілген болатын. Біз бұл бөлімде шегі болатын айнымалы шамаларды ғана қарастырамыз. Мұндай шамалар үшін маңызды бірнеше теореманы дәлелдемесіз келтіреміз.

4-теорема. Тұрақты шаманың шегі сол тұрақтының өзіне тең:

Тұрақты с-ның шегі жөнінде әңгіме еткенде, біз барлық мүшесі де бір ғана с-ға тең болатын с, с, с, ..., с, ... сан тізбегінің шегін түсінетін боламыз.

5-теорема. Тұрақты көбейткішті шек таңбасының алдына шығаруға болады:



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
бойынша жиынты
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
жалпы біліктілік
Конкурс туралы
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
білім беретін
жалпы конкурс
Барлы конкурс
республикасы білім
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
дістемелік сыныстар
идаларын бекіту
Республикасы кіметіні
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
мемлекеттік мекемесі
Мектепке дейінгі
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
дебиеті маманды
мерзімді жоспар
білім беруді
дістемелік материалдар
жалпы білім
ауданы кіміні
мектепке дейінгі
конкурс туралы
облысы бойынша
рметті студент
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
дарламасыны титулды
Конкурс жариялайды
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
разрядты спортшы
мелетке толма
директоры бдиев

Loading...