Математика мұҒалімінің КӘсіби-педагогикалық дайындығЫ

Loading...


бет6/9
Дата14.04.2020
өлшемі0.56 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
. Сан тізбегі оның мүшелерін айтып түсіндіру жолымен де беріледі. Мысалы, мына тізбек:

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;,..

санының, 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001-ге дейінгі т. с. с. дәлдікпен кемімен алынған жуық мәндерінен құралған деуге болады. Мұндай шарттарда жалпы мүшенің формуласын тағайындау кейде мүмкін болмайды, солай бола тұрса да тізбек толық анықталған болып шығады.

3. Тізбектің n-ші мүшесін өрнектейтін формуламен қоса, оның n - ші мүшесі n-1, n-2,...,n-k - шы мүшелері арқылы өрнектелетін рекуррентті түрде берілу әдісі қолданылады. Мысалы, айырымы d-ға тең арифметикалық прогрессия рекуррентті түрде былай беріледі: ап = ап-1 + d. Бұл прогрессия толық анықталу үшін а1 - бірінші мүшесі берілу керек.

Өсімшесі – q, бірінші мүшесі - b1 болатын геометриялық прогрессия былай беріледі:

Кей жағдайда тізбектің алдыңғы бірнеше мүшесі көрсетіледі де, ал қалған мүшелері осылар бойынша қандай да бір формуламен табылады.

Мысалы, айталық , ал әрбір келесі мүше өзінің алдындағы екі мүшенің қосындысы ретінде анықталатьн болсын. Басқаша айтқанда, кез-келген болғанда болсын. Мынандай сандар тізбегі:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...

осылай анықталады. Бұл тізбектің мүшелері «Фибоначчи сандары» деп аталады (итальян математигі Пизандық Леонардтың (шамамен 1170—1250) атымен аталған, Фибоначчи, яғни «Боначчо ұлы»).

Мектеп математика курсында тізбектің монотондық және шектелгендік ұғымдарын оқытуға үлкен мән беру керек. Бұл талаптың қойылуының себептері: 1) тізбектің монотондық және шектелгендік ұғымдары анализ курсын ары қарай құруда маңызды рөл атқарады; 2) бұл тараудың дидактикалық ерекшелігі бар.

Математикалық талдаумен алғаш танысып отырған адамға тізбектің өсуі не кемуі, оның шектелгендігі, функцияның үзіліссіздігі және т.б. фактілер интуитивті түрде орындалатындығын ұғынады. Олай бола тұра, математикалық талдаудың мазмұны, интуициямен қабылдаған ол фактілердің дұрыстығын логикалық жолмен дәлелдеуді немесе жоққа шығаруды талап етеді. Сондықтан оқушыларды алғашқы сабақтардан бастап логика мен интуицияның диалектикасын сезінуге үйретіп, математикада бақылаудан жалпылауға көшетінін көрсету керек. Қысқаша айтқанда, математикалық талдауды оқытқанда алғашқы сабақтардан бастап математикалық ойлау мәдениетін тәрбиелеу қажет.

Тізбектің монотондық және шектелгендік ұғымдарын оқытқанда, мұғалімге, қарапайым материалдың көмегімен, оқушыларды зерттеудің аналитикалық әдістерімен таныстыру мүмкіндігі туады.

Оқушылар алгебра курсынан, өспелі, өспейтін, кемімелі, кемімейтін тізбектер монотонды тізбектерге жататынын біледі. Бұл ұғымдарды қайталау үшін мысалдар қарастырылады және олардың геометриялық кескіндері келтіріледі.

Мысалы:

1. (n = 1, 2,3, …) кемімелі.

2. (n = 1, 2,3, …) өспелі.

Монотонды тізбектер.

Егер тізбектің әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, алдыңғысынан артық болса, онда ол монотонды үдемелі (немесе өспелі) тізбек деп аталады. Басқаша айтқанда, егер п-нің кез-келген мәнінде болса, онда а1, а2, а3 ... сан тізбегі монотонды үдемелі тізбек деп аталады.

Монотонды үдемелі сан тізбегіне сандардың 1, 2, 3, 4, ... натурал қатары мысал болады. Монотонды үдемелі сан тізбегіне тізбегі де мысал болады, бұл тізбектің әрбір мүшесі бір ғана шеңберге іштей сызылған дұрыс 4, 8, 16-бұрыштың т. б. периметрі. Шынында да, АВ кесіндісі 0 шеңберіне іштей сызылған квадраттың қабырғасы болсын (11-сурет).



О(R) шеңберінің центрінен АВ-ға перпендикуляр түсіріп, оны шеңбердің С нүктесімен қиылысқанша созайық. АС мен ВС дұрыс сегізбұрыштың қабырғалары болатындығы түсінікті. АВС үшбұрышында



болатындықтан, болады. т. с. с. болатындығын да осылайша көрсетуге болады.

Егер сан тізбегінің әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, алдыңғысынан кем болса, онда ол монотонды кемімелі тізбек деп аталады.Басқаша айтқанда, егер п-нің кез-келген мәнінде



болса, онда а1, а2, а3, ... сан тізбегі монотонды кемімелі тізбек деп аталады.

Монотонды кемімелі сан тізбегіне

тізбегі мысал бола алады.



Cурет 7
Сондай-ақ, бір ғана шеңберге сырттай сызылған дұрыс 4, 8, 16,…бұрыштың периметрлерінің



тізбегі де монотонды кемімелі тізбекке мысал болады. Осы тұжырымды дәлелдеп беруді оқушылардың өздеріне тапсырамыз.

Монотонды үдемелі және монотонды кемімелі тізбектер кейде тек монотонды тізбектер деп те аталады.

Осыдан кейін кез-келген тізбек монотонды болмайтынын көрсету керек. Яғни, сан тізбектерінің қай-қайсысы болмасын монотонды тізбек болады екен деп түсінбеу керек.

Мысалы, жалпы мүшесі ап = (-1)n болатын, -1; 1, -1; 1;…

тізбегі монотонды үдемелі тізбектің де, монотонды немесе кемімелі тізбектің де қатарына жатпайды. Жалпы мүшесі болатын, тізбегі жөнінде де соны айтуға болар еді. Бұл сияқты тізбектер тербелмелі тізбектер деп аталады.

Мысалы, төмендегі тізбектер де монотонды емес.

1. (n = 1, 2,3, …)

2. (n = 1, 2,3, …)

Шектелген және шектелмеген тізбектерді қарастырайық.

Тізбектің шектелгендік ұғымын енгізу әдістемесіне тоқталайық. Алдымен төмендегідей тізбектер қарастырайық:

1) (n = 1, 2,3, …), яғни 1, ;

2) (n = 1, 2,3, …), яғни 1, 2,

3) (n = 1, 2,3, …), яғни -1, -4, -9, -16, -25, …;

4) (n = 1, 2,3, …), яғни 1, -8, 2, 7, -64, 125, … .

Бірінші тізбектің барлық мүшелері мынандай теңсіздікті қанағаттандырады: 0 < < 1. Сондықтан, бұл тізбек жоғарыдан да төменнен де шектелген деп аталады.

Екінші тізбектің мүшелері, барлық n үшін теңсіздігін қанағаттандырады. Олай болса, бұл тізбекті төменнен шектелген деп атаған орынды болар еді. Бірақ n-нің кез-келген мәнінде бұл тізбектің мүшелері аспайтын М саны табылмайды. Шынында М > 0 cанын қалай таңдасақ та, жұп нөмірлі (мұндағы k > )мүшесі табылып М санынан үлкен болады.

Үшінші тізбектің мүшелері үшін n-нің кез-келген мәнінде -1 теңсіздігі орындалады. Сондықтан бұл тізбек жоғарыдан шектелген деп аталады. Үшінші тізбектің төменнен шектелмегенін көрсетуге болады.

Төртінші тізбек төменнен де жоғарыдан да шектелмеген. Сондықтан ол шектелмеген тізбек деп аталады.

Мысалдарды толық талдағаннан кейін анықтамалар беріледі.

Кез-келген ақырлы тізбектің шектелген тізбек болатындығына оқушылардың назарын аудару керек.

Шектелген тізбектің үнемі геометриялық мағынасына тоқталу керек.

Сонымен, тізбек мүшелерінің саны шектеулі де, шектеусіз де болуы мүмкін. Саны шектеулі мүшелерден құралатын тізбек шектеулі тізбек деп, ал саны шектеусіз мүшелерден, құралатын тізбек шектеусіз тізбек деп аталады.

Мысалы, барлық жұп оң сандар тізбегі 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... шектеусіз де, ал бір таңбалы жұп оң сандар тізбегі 2, 4, 6, 8 шектеулі.

Енді шектелген және шектелмеген сан тізбектеріне анықтама беріледі.

cан тізбегінің барлық мүшелері қандай да бір А санынан кем болса

онда тізбек жоғарыдан шектелген деп аталады.




Cурет 8

Бұған әрбір мүшесі 1-ден кем , мына тізбек мысал бола алады:

Мұнда А санының орнына 1 саны алынған. Оның орнына 2, 3, т.б. сандарды алуға да болар еді, өйткені қарастырылып отырған тізбектің мүшесі бұл сандардың қай-қайсысынан да кем. Бұл жерде оның мәнісі А санының орнына қай санның алынғандығында емес, сондай санның біреу де болса болатындығында.

Жоғарыдан шектелген тізбекке мына тізбек

айқын мысал болады, мұның әрбір мүшесі, бір ғана шеңберге іштей сызылған дұрыс 4, 8, 16,...бұрыштың периметрлері. Қарастырылып отырған тізбектің шектелгендігін дәлелдеу үшін былай істелік. Алынған тізбекпен қатар



тізбегін де карастырайық, мұның әрбір мүшесі, сол шеңберге сырттай сызылған дұрыс 4, 8, 16,...бұрыштың периметрлері. Шеңберге іштей сызылған дұрые 2n-бұрыштың АВ қабырғасы сол шеңберге сырттай сызылған дұрыс 2n-бұрыштың А'Б' қабырғасынан кем болатындығы түсінікті (12-сурет). Сондыктан,



Алдыңғы тарауда ескерткеніміздей, (2) тізбек монотонды кемімелі болып табылады. Сондықтан да бұл тізбектің әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, бірінші Р4 мүшесінен кем. Олай болса, -нің кез-келген мәнінде



теңсіздіктердентеңсіздігі шығады. Ал,, мұндағы r— шеңбер радиусы. Сонымен, барлық үшін болады. Ал, бұл теңсіздік (1) тізбектің жоғарыдан шектелгендігін білдіреді. Бұл жағдайда A-ның орнында 8r саны тұр.

A

Cурет 9
Егер жоғарыдан шектелген сан тізбегінің мүшелерін сан түзуі нүктелерімен кескіндейтін болсақ, онда олардың барлығы абсциссасы А нүктенің сол жағын ала орналасар еді (сурет 11).



Егер {ап} сан тізбегінің барлық мүшелері қандай да бір В санынан артық болса:

ап (n=1,2,3,...).

онда ол тізбек төменнен шектелген деп аталады.



Мұндай тізбекке сандардың 1,2,3,4,5,.., натурал қатары мысал бола алады. Бұл қатар төменнен шектелген, өйткені оның әрбір мүшесі нольден (B=0) артық. В санының орнына кез-келген теріс санды не т. б. сандарды алуға да болады.

Жоғарыдан шектелген тізбектер үшін ескертілгендей, мұнда да әңгіме n-нің орнына қандай санның алынғандығында емес, сондай санның біреу де болса болатындығында.

Төменнен шектелген тізбекке мына тізбек:

айқын мысал болып табылады, мұның әрбір мүшесі — бір ғана шеңберге сырттай сызылған дұрыс 4, 8, 16-бұрыштың т. б. периметрі. Мұның шынында дәл осылай екендігі, жоғарыда

тізбегін зерттегендегіше талқылай келе, көз жеткізу оңай.

Егер, төменнен шектелген сан тізбегінің мүшелерін сан түзуі нүктелерімен кескіндейтін болсақ, онда олардың барлығы абсциссасы В нүктесінің оң жағын ала орналасар еді.



Төменнен де, жоғарыдан да шектелген сан тізбегі, шектелген тізбек деп аталады. Басқаша айтқанда, а1, a2, ..., ап, сан тізбегі, п-нің кез-келген мәнінде

А < ап< В (n= 1,2,3,...)

болатындай А мен В сандары табылса, шектелген тізбек деп аталады.

Сан осінің мұндай сан тізбегінің мүшелеріне сәйкес барлық нүктелері екі ұшының абсциссалары А мен В болатын кесінді бойында орналасатындығы түсінікті

Мысалдар:

1)

Бұл тізбектің жалпы мүшесі. n-нің кез-келген.мәнінде

-2 < sin n < 2.

Сондықтан бұл сан тізбегі шектелген.

2) 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... .,

Бұл тізбектің мүшелері санының ондық жуық мәндері болып табылады. болатындығы түсінікті, олай болса, бұл тізбек те шектелген.

3) Жоғарыда қарастырылған, қандай да бір шеңберге іштей және сырттай сызылған дұрыс 2n-бұрыштардың периметрлерінен құралған



тізбектер де шектелген.



Тізбектің шегін оқыту әдістемесіне тоқталайық.

Шектеусіз сан тізбегінің шегі.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
бойынша жиынты
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
жалпы біліктілік
Конкурс туралы
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
білім беретін
жалпы конкурс
Барлы конкурс
республикасы білім
ызмет регламенті
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
дістемелік сыныстар
идаларын бекіту
Республикасы кіметіні
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
мемлекеттік мекемесі
Мектепке дейінгі
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
дебиеті маманды
мерзімді жоспар
білім беруді
дістемелік материалдар
жалпы білім
ауданы кіміні
мектепке дейінгі
конкурс туралы
облысы бойынша
рметті студент
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
дарламасыны титулды
Конкурс жариялайды
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
разрядты спортшы
мелетке толма
директоры бдиев

Loading...