Мақалада жазықтықтың құрылысына қатысты мәселелер берілген,оның ішінде қиылысу әдісімен шешілген есептер ашық көрсетіледі


VI . Параллель түзулердің болуы туралы теорема .­



бет9/16
Дата10.06.2022
өлшемі357.52 Kb.
#267697
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16
Байланысты:
Үсен Мейіржан

VI . Параллель түзулердің болуы туралы теорема .­
Теорема 2. AB ерікті бағытталған түзу, ал M онда жатпайтын нүкте болсын. Сонда MAB жазықтығында ­М нүктесі арқылы өтетін және ­АВ түзуіне параллель болатын бір ғана CD түзуі болады, яғни CD || AB .



сурет 5. сурет 6.
2. М нүктесінен АВ түзуіне жүргізілген MN перпендикулярын, ал MN түзуіне перпендикуляр МП түзуін қарастырайық . (Cурет 5). P және B нүктелері MN түзуінің бір ­жағында жатыр деп есептейміз . Лемма 1, тікелей депутат және Н.Б. қиылыспаңыз ­.
NP сегментінің нүктелері К 1 екі класқа бөлеміз және K 2 келесі заңға сәйкес. Бірінші сыныпқа біз X ұпайларын береміз шартты қанағаттандыратын бұл сегмент : MX сәулесі NB сәулесін қиып өтеді , ал екінші класқа - NP сегментінің барлық басқа нүктелері . Көрсетілген бөлім Дедекинд ұсынысының a) және b) шарттарын қанағаттандыратынын дәлелдейміз.
а) Әлбетте, Н K 1 және R K 2 . К 1 сыныбы N нүктелерінен басқа нүктелерді қамтиды ­, мысалы, X нүктелері сәуленің қиылысы MX 1 NP сегментімен , мұндағы
X 1 NB сәулесінің ерікті нүктесі болып табылады (Cурет 5). K 2 класында P -ден өзгеше нүктелер бар . Шынында да,
V * ­
аксиомасына сәйкес MP сызығынан өзгеше MS 1 сызығы бар . және АВ
түзуімен қиылыспайды . MS 2 түзу , MS 1 түзуіне симметриялы MN түзуіне қатысты , сонымен қатар
AB
түзуін қиып өтпейді ( 5-сурет) . Тікелей MS бірі 1 немесе
MS 2 NMP бұрышының ішінен өтеді , сондықтан ол NP кесіндісін қиып өтеді қандай да ­бір нүктеде K 2 класына жататын Y
ә) X болсын N - ден өзгеше K 1 класының ерікті нүктесі ,
ал Y екінші кластың нүктесі. Содан кейін N - X - Y, өйткені әйтпесе
бізде N - Y - X бар , бұл MY сәулесін білдіреді NMX бұрышының ішкі
сәулесі болып табылады . Осыдан MY сәулесі шығады N X 1 кесіндісін қиып өтеді
яғни U K 1 .
NP кесіндісінің нүктелер жиынында бізде Дедекинд бөлімі бар ­. D нүктесі болсын осы бөлімді шығарады. Дәлелдеп көрейік, Д Қ 2 . Керісінше делік: D K 1 . Содан кейін MD сәулесі сәулені кесіп өтеді NB белгілі бір нүктеде D 1 (Cурет 6). NB сәулесін алайық D ' 1 нүктесі сондықтан N - D 1 - D ' 1 . Beam MD ' 1 DP сегментін қиып өтеді қандай да бір нүктеде D ' (6-сурет), ол K 1 класына жатады . Алынған қорытынды Дедекиндтің ұсынысына қайшы келеді. Сонымен Д Қ 2 . Тікелей MD бойынша C - М - D болатындай С нүктесін алыңыз . 1-теорема бойынша CD || AB .
CD дәлелдеу үшін қалды М нүктесі арқылы өтетін және АВ түзуіне параллель болатын жалғыз түзу. Керісінше, C ' D ' M нүктесі арқылы өтетін және АВ түзуіне параллель басқа түзу болсын. Параллель түзулердің анықтамасы бойынша NMD бұрыштарының ішкі сәулелері және NMD ' NB сәулесімен қиылысады , сондықтан MD , MD ' сәулелері NB сәулесі сияқты MN шекарасымен бір жартылай жазықтықта жатады ­. Осы жерден біз ­MD деген қорытындыға келдік NMD бұрышының ішкі сәулесі ', немесе MD ' NMD бұрышының ішкі сәулесі .


Бірақ содан кейін тікелей ықшам дискілердің бірі немесе C'Dr _ _ _ параллель түзулердің анықтамасына қайшы келетін АВ түзуін қиып өтеді .



күріш. 7
А Н Б


3. M нүктесі a , a түзуінде жатпайтын нүкте болсын М.Н М нүктесінен а түзуіне жүргізілген перпендикуляр ­. А түзуіне А және В екі нүктесін таңдаймыз , осылайша A - N - B. 2-теоремадан M нүктесі арқылы AB бағытталған түзуіне параллель болатын жалғыз CD түзуі және жалғыз EF сызығы өтетіні шығады . бағытталған BA сызығы (Cурет 7).
2-теореманы дәлелдеу барысында біз бұрыштардың DMN екенін анықтадық және FMN өте өткір CD және EF - Әртүрлі сызықтар. DMN екенін дәлелдейік = FMN . Керісінше, DMN болсын FMN , мысалы: ­DMN > _ FMN . МФ сәулесіне симметриялы ­MF ' сәулесін қарастырайық MN түзу сызығына қатысты (арқалық MF ' 7-суретте көрсетілмеген). Бұл сәуле DMN бұрышының ішкі сәулесі . М.Ф _ АВ түзуімен қиылыспайды , ­онда MF ' бұл түзуді де қимайды. Бірақ бұл ­CD түзулерінің параллелизмінің анықтамасына қайшы келеді және AV.
Сонымен, берілген а түзуінде жатпайтын әрбір М нүктесі арқылы а түзуіне екі түрлі бағытта ­параллель екі түзу өтеді . Бұл түзулер М нүктесінен а түзуіне жүргізілген перпендикуляр MN тең сүйір бұрыштар құрайды . Бұл бұрыштардың әрқайсысы а түзуіне қатысты ­М нүктесіндегі параллелизм бұрышы деп аталады .
М нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықпен толық анықталатынын дәлелдейік . Ол үшін 219- ­суретке жүгінейік.Бұл суретте НМД a , a түзуіне қатысты М ­нүктесіндегі параллелизм бұрышы болып табылады N ' M ' D ' - M нүктесіндегі параллелизм бұрышы
түзу сызыққа қатысты a' , = NMD , x = MN , a / = N ' M ' D ', x ' = M / N / . Егер
x = x' болса,
онда = ' екенін дәлелдейік . Керісінше, / ,
мысалы a' > . Сонда M ' N ' және h сәулелерінің арасындағы бұрыш болатындай N ' M ' D '
бұрышының h ' ішкі сәулесі бар. -ге тең . h ' сәулесі a' түзуін қандай да бір F ' нүктесінде қиып
өтеді . N нүктесінен а түзуінде NF = N ' F ' кесіндісін шетке қоямыз .
сондықтан нүктелер F және Д MN шекарасымен бір жарты жазықтықта жатыр ­. M ' N ' F ' үшбұрышына тең ­MNF үшбұрышын аламыз ( MNF үшбұрышы күріште. 8 көрсетілмеген). Сонымен


мм

8-сурет
NMF = ретінде , содан кейін MD сәулелері және MF сәйкестік. MD және сызықтары деген қорытындыға келеміз қиылысу. Бұл параллель түзулердің анықтамасына қайшы келеді. Осылайша, = '.
Сонымен, х функциясы : = P (x). Ол Лобачевский функциясы деп аталады және гиперболалық геометрияда маңызды рөл атқарады . ­Алдыңғы презентациядан Π (x) функциясы әрбір оң x үшін анықталғаны және 0 < II болатыны анық. (x) < P/2.
Н.И.Лобачевский бұл функция үшін аналитикалық өрнек алды ­:

қайда к кейбір оң сан.
Бұл формуладан Π (х) монотонды кемімелі ­үздіксіз функция екендігі шығады. Сондай-ақ осы формуладан P (x) 0 мен P/2 аралығындағы мәндерді қабылдайтыны шығады. ­Басқаша айтқанда, кез келген сүйір бұрыш – берілген түзуге қатысты қандай да бір нүктедегі параллелизм бұрышы ­.
бұрыштық және сызықтық шамалар арасындағы тәуелділік бар ; ­Бұл Лобачевский геометриясы мен Евклид геометриясының маңызды айырмашылығы. Демек, Лобачевскийдің геометриясында фигуралардың ұқсастығы жоқ; атап айтқанда, сәйкес бұрыштары бірдей үшбұрыштар конгруентті. Лобачевский геометриясының тағы бір ерекшелігі ұзындық өлшем бірлігімен байланысты. Евклид геометриясында ­тік бұрыш немесе радиан сияқты бұрыштық шамалардың абсолютті тұрақтылары бар, ал сызықтық абсолютті тұрақтылар жоқ. Кесінділердің ұзындықтарын сандар түрінде өрнектеу үшін ұзындықтарды өлшеу бірлігін таңдау керек. Мұндай бірлік ретінде ерікті сегментті таңдауға болады. Бұған қарағанда, Лобачевский геометриясында мұның қажеті жоқ, өйткені бұрыштардың табиғи өлшем бірлігіне ие бола отырып, ұзындықтың табиғи бірлігін таңдау туралы келісімге келуге болады. Мысалы, ұзындық бірлігі үшін П/4 тең параллелизм бұрышына сәйкес келетін сегментті таңдауға болады .


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16




©melimde.com 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
Сабақтың тақырыбы
бойынша жиынтық
жиынтық бағалау
Сабақ тақырыбы
Сабақтың мақсаты
ғылым министрлігі
тоқсан бойынша
бағдарламасына сәйкес
бағалауға арналған
Сабақ жоспары
Реферат тақырыбы
жиынтық бағалауға
сәйкес оқыту
арналған тапсырмалар
Қазақстан республикасы
білім беретін
оқыту мақсаттары
бағалау тапсырмалары
рсетілетін қызмет
Жалпы ережелер
жиынтық бағалаудың
республикасы білім
бекіту туралы
тоқсанға арналған
Қазақстан тарихы
Қазақстан республикасының
мерзімді жоспар
арналған жиынтық
қызмет стандарты
болып табылады
арналған әдістемелік
жалпы білім
бағалаудың тапсырмалары
Мектепке дейінгі
оқыту әдістемесі
Қазақ әдебиеті
пәнінен тоқсанға
нтізбелік тақырыптық
Зертханалық жұмыс
Инклюзивті білім
Әдістемелік кешені
республикасының білім
білім берудің
туралы жалпы
Қазақстанның қазіргі
Қысқа мерзімді
Жұмыс бағдарламасы
қазақ тілінде
туралы хабарландыру
қазіргі заман
атындағы жалпы