Q Х Q'Q _ _ H 1 H 2 Q ' Q H 1 H 2 H 3 Q '
A B C)
Күріш. 17
(Cурет 17, а). Сонда M PP' сәулесінің айнымалы нүктесі болса, ал Н бұл нүктенің QQ ' түзуіне проекциясы болса, онда MH - f ( MP ) функциясы монотонды, шексіз өсетін функция болады.
f - монотонды өсетін функция екенін дәлелдеп көрейік . Ол үшін РП' сәулесінен екі М 1 және М 2 нүктелерін алу керек. осылайша RM 1 < PM 2 , және М 1 Н 1 екенін дәлелдеңдер < M 2 H 2 , мұндағы H 1 және H 2 - M 1 және M 2 нүктелерінің проекциялары QQ ' түзу сызығына . Негіздері QH 1 болатын үш екі төртбұрышты қарастырайық QH 2 , H 1 H 2 17, б-суретте көрсетілген. RM 1 бастап < RM 2 , содан кейін P - M 1 - М 2 . 2-теореманы (дөңес төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы 4 d -ден аз) табандары QH 1 болатын екі тіктөртбұрышқа қолдану және QH2 _ ал Р дұрыс немесе доғал екенін ескерсек, 1 және 3 бұрыштары сүйір деген қорытындыға келеміз. 1 және 2 іргелес бұрыштар болғандықтан , 2 доғал болады. Содан кейін, 3° қасиеті бойынша, негізі H 1 H 2 болатын екі төртбұрышта бізде H 1 M 1 бар < H 2 M 2 . Осылайша , ф монотонды өсетін функция болып табылады.
Енді f шексіз өсетін функция. Ол үшін PM 1 = M 1 M 2 = ... = M n -1 M p болатындай етіп , бірінен соң бірі орындалатын M 1 , M 2 , ..., M p нүктелерін PP' пучкасына алыңыз , мұндағы n > 2 және H 1 проекцияларын қарастырайық H 2 , ..., N б бұл QQ ' түзуін көрсетеді (17-сурет, в).
Дәлелденген PQ бойынша < M 1 H 1 < M 2 H 2 . H 1 M 1 пучкасының үстіне қойыңыз H 1 M 1 сегменттері және H 1 M' 2 сәйкесінше PQ сегменттеріне тең және M 2 H 2 . Сонда, анық, M' 1 - M 1 - M' 2 .
Үшбұрыштарда PM 1 M' 1 және M 2 M 1 M' 2 бізде RM 1 бар = M 2 M 1 және PM 1 M' 1 = M 2 M 1 M ' 2 , бірақ PM ' 1 M 1 бірінші үшбұрыш доғал ( М' 1 бұрышына іргелес бұрыш сияқты Негізі QH 1 ) , а M 2 M ' 2 M 1 екінші үшбұрыш сүйір (негізі H 1 H 2 болатын Сакери төртбұрышының бұрышы сияқты ). Бұдан шығатыны, М 1 М'1 _ _ < M' 2 M 1 .
М 1 М' 1 деп белгілесек арқылы , содан кейін М 1 Н 1 = PQ + , M 2 H 2 \u003d M 1 H 1 + M ' 2 M 1 > PQ +2 . Сол сияқты дәлелдей отырып, біз M 3 H s > PQ + 3 , ..., M p H p > PQ + p деген қорытындыға келеміз . Бұл f -тің шексіз өсетін функциясын білдіреді. ■
AB және CD болсын дивергентті сызықтар болып табылады, a PQ осы түзулердің ортақ перпендикуляры болып табылады (18-сурет ). BPQD көрсеткіштері және APQC 2-лемманың шарттарын қанағаттандырады , сондықтан осы лемма бойынша АВ түзуінің М айнымалы нүктесінен CD түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі Р нүктесінен бір бағытта да, екінші бағытта да алыстаған кезде шексіз өседі . Бейнелеп айтқанда, алшақ жатқан түзулер ортақ перпендикулярдан алыстаған сайын бір-бірінен шексіз «алшақтайды».
Енді AB || болсын CD , а PQ – AB түзуінің P нүктесінен CD түзуіне жүргізілген перпендикуляр (Cурет 19). QPB бері өткір, содан кейін оның іргелес QPA ақымақ. APQC суреті қанағаттандырады
18-сурет
19-сурет
2-лемманың шарттары, сондықтан осы лемма бойынша АВ түзуінің М айнымалы нүктесінен CD түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі Р нүктесінен параллелизм бағытына қарама-қарсы бағытта алыстаған кезде шексіз артады . Дәлелдеуге болады, егер М нүктесі Р нүктесінен параллелизм бағытында алыстаса, онда бұл қашықтық нөлге ұмтылады. Бейнелеп айтқанда, параллель түзулер бір бағытта бір-бірінен шексіз алшақтап, екіншісінде асимптоталық түрде жақындайды.
IX . Лобачевский геометриясының үш моделі.
Лобачевский геометриясының үш түрлі моделі бар:
1) Пуанкаре үлгісі
2) Кляйн моделі
3) Лобачевский геометриясын псевдосферада кескіндеу (Белтрамидің аудармасы)
1) Пуанкаре үлгісі.
моделінде евклидтік Е жазықтығына көлденең x сызығы бекітілген. Ол «абсолюттік» деп аталады. Лобачевский жазықтығының нүктелері абсолютті х -тен жоғары жатқан Е жазықтығының нүктелері . Сонымен, Пуанкаре моделінде Лобачевский жазықтығы абсолюттен жоғары жатқан L жарты жазықтығы болып табылады .
L жазықтығының түзулері абсолютте центрлері бар жартылай шеңберлер немесе абсолют және оған перпендикуляр төбелері бар сәулелер болып саналады.
Лобачевский жазықтығындағы фигура Л жартылай жазықтықтың
фигурасы. Нүктенің фигураға тиесілігі Евклидтік Е жазықтығымен бірдей түсініледі . Бұл жағдайда L жазықтығының кесіндісі абсолютке центрленген шеңбер доғасы немесе абсолютке перпендикуляр түзу кесіндісі болып саналады (20-сурет). К нүктесі C және D нүктелерінің арасында жатыр , бұл K CD доғасына жататынын білдіреді . Біздің модельдің шарттарында бұл K' C' және D' арасында жататынына тең , мұндағы C' , K' және D' сәйкесінше C , K және D нүктелерінің абсолютке проекциялары. . Пуанкаре үлгісінде евклидтік емес сегменттердің теңдігі тұжырымдамасын енгізу үшін осы модельдегі евклидтік емес қозғалыстарды анықтайды. Евклидтік емес қозғалыс - осьтері абсолютке перпендикуляр болатын E жазықтығының абсолютті және осьтік симметрияларына центрленген инверсиялардың ақырлы санының құрамы болып табылатын L түрлендіруі. Осьтері абсолютке перпендикуляр болатын Е жазықтығының абсолютті және осьтік симметрияларына центрленген инверсиялар евклидтік емес симметриялар деп аталады. Евклидтік емес екі кесінді тең деп аталады, егер олардың біреуі евклидтік емес қозғалыс арқылы екіншісіне аударылса.
Достарыңызбен бөлісу: |
