Краткий обзор развития понятия иррационального числа

Loading...


бет1/16
Дата29.06.2020
өлшемі1.4 Mb.
түріРеферат
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16



Содержание


Введение ………………………………………………………………………….




Глава 1. Иррациональные числа ………………..…………………




1.1. Краткий обзор развития понятия иррационального числа …………..




1.2. Действительные числа как десятичные дроби ………………………




1.3. Действительные числа как цепные дроби ……………………………




Глава 2. Методика изучения иррациональных чисел в школе




2.1.Методика расширения числовых множеств в курсе алгебры средней школы ………………………………………………………………………………




2.2. Методика введения понятия «иррациональное число» …………….




2.3. Анализ школьных учебников по алгебре ……………………………




2.4. Система упражнений в разрезе классов ……………………………….




Глава 3. Педагогический эксперимент и его результаты ……….




3.1. Описание эксперимента ……………………...…………………………




3.2. Ход эксперимента и его результаты ………….…………………….….




3.3. Фрагменты конспектов уроков …………………….….……………......




Заключение …………………………………………………………..…….




Литература …………………………………………………………………





Введение
Глава I. Иррациональные числа


    1. Краткий обзор развития понятия иррационального числа

На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т. п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.

В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через . Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.

Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.

Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. (Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.).



О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой «и» в полужирном начертании без заливки  – I. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств  вещественных и рациональных чисел.

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается  Гиппасу  из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

  • Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.

  • По теореме Пифагора: a² = 2b².

  • Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).

  • Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.

  • Так как a четное, обозначим a = 2y.

  • Тогда a² = 4y² = 2b².

  • b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.

  • Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например: Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин: результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. – ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. – 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины: Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и  Леонард Эйлер  (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.
Иррациональные числа (термин введен М. Штифелем в 1544 г.) делятся на алгебраические нерациональные и трансцендентные.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что en иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.
Строгая научная теория действительного числа появилась во второй половине XIX в.

Вейерштрасс представляет действительное число в виде бесконечной десятичной дроби; иррациональное число – как бесконечную непериодическую дробь, определяемую числовыми последовательностями – приближениями иррационального числа по недостатку и избытку.

Дедекинд определяет действительное число через построение сечения на множестве.

Сечением называют разбиение множества рациональных на два непустых класса и так, что:

1) каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств и ;

2) каждое число, вошедшее во множество , меньше каждого числа из множества .

Множества и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Теорема Дедекинда гласит: если произвести сечение во множестве действительных чисел, то найдется число , производящее это сечение, причем будет наибольшим в нижнем классе либо наименьшим в верхнем классе.

На множестве рациональных чисел существует три вида сечений. В одном случае в нижнем классе будет наибольшее число, в другом случае наименьшее число окажется в верхнем классе, а в третьем – в нижнем классе нет наибольшего числа, а верхнем классе нет наименьшего. Множество не обладает полнотой. Сечениям третьего рода сопоставляются иррациональные числа, являющиеся пограничными между нижними и верхними классами сечений.

Коши определяет действительные числа через построение фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Свойства


  • Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.

  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

  • Каждое трансцендентное число является иррациональным.

  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Иррациональными являются:

  • для любого натурального n, не являющегося точным квадратом,

  • ep для любого рационального  р 0,

  • ln h для любого положительного рационального h 1,

  • π, а также πn для любого натурального n.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихлетакже внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.
Как же в теории появляются новые числа? Новые числа появляются как расширение некоторого множества чисел. При этом возможны два пути.

Во-первых, вводится новое множество В. Затем некоторое его подмножество отождествляется с множеством А (устанавливается изоморфизм). Эта возможность отражена в учебнике А. П. Киселева. При её реализации у школьников может создаться впечатление, что отрицательные и положительные числа — не связанные друг с другом числовые множества.

Во-вторых, А дополняется новыми числами – , получаем расширенное множество: . В учебнике Н. Я. Виленкина (положительные рациональные числа и 0) дополняется .

Для расширения числовых множеств имеют важное значение следующие идеи:

Во-первых, в основе новых определений лежит принцип перманентности. Он предполагает невозможность сохранять все свойства. Принцип сводится к следующим требованиям:


  • А – подмножество В;

  • все старые числа являются и новыми, арифметические операции и отношения, имеющие смысл в А, определены и в В;

  • правила действия над новыми числами и правила сравне­ния их между собой и со старыми числами определяются так, чтобы сохранялись основные законы арифметических действий;

  • в множестве В выполнима операция, невыполнимая или не всегда выполнимая в А. В – минимальное расширение А, т.е. В является минимальным множеством, для которого выполнимы указанные требования.

Во-вторых, операторное истолкование числа. Действия над числами можно интерпретировать, при этом один из компонентов будет играть пассивную роль, а другой – активную. Сложение можно понимать как изменение на величину, описываемую вторым слагаемым, а умножение – как многократное сложение или нахождение части числа.

В-третьих, наличие синтаксического и семантического аспектов числа. Синтаксический аспект числа выражается в форме записи и учитывает возможную неоднозначность записи чисел, например: в десятичной и двоичной системах, в римской нумерации – для натуральных чисел.

Семантический аспект связан: с порядком - идеей бесконечности и принципом индукции; с количеством – проявлением равномощности множеств (сравнение выступает как включение множеств, сложение – как объединение); с измерениями – числовой мерой, величиной, характеристикой процесса измерения, важной для приложений.

Перед изучением линии числа ставятся конкретные цели:



  • осмысление числа как основного объекта математики, истории развития числа;

  • демонстрация идеи расширения числовых множеств, свойства числовых множеств;

  • иллюстрация идеи алгебраических структур, бесконечное упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотно, замкнуто относительно +, –, ∙, :, определен предел любой сходящейся последовательности действительных чисел ( непрерывно);

  • знакомство с системами счисления, теорией делимости;

  • воспитание вычислительной культуры (алгоритмы вычислений, рациональная техника, приближенные вычисления, использование средств вычислительной техники).


Алгебраи́ческое число́ над полем K — элемент алгебраического замыкания поля K, то есть корень многочлена с коэффициентами из K.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел

  • Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.

  • Если α — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих α своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа α. (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьший общий знаменатель его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)

    • Степень канонического многочлена  α  называется  степенью  алгебраического числа α.

    • Другие корни канонического многочлена α  называются  сопряжёнными  к α.


    • Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
жалпы біліктілік
Конкурс туралы
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
Барлы конкурс
білім беретін
ызмет регламенті
республикасы білім
ткізу туралы
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
бойынша жиынты
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
стандарттарын бекіту
Конкурс ткізу
дебиеті маманды
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
дістемелік материалдар
Мектепке дейінгі
ауданы кіміні
конкурс туралы
рметті студент
облысы бойынша
жалпы білім
мыссыз азаматтар
Мемлекеттік кірістер
мектепке дейінгі
Конкурс жариялайды
білім беруді
дарламасыны титулды
разрядты спортшы
мелетке толма
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
директоры бдиев
аласы кіміні

Loading...