Кафедра математики

Литература: [1] с.101-111. Неделя 5

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

бет	7/44
Дата	03.01.2023
өлшемі	1.19 Mb.
	#405591
түрі	Лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 44

Байланысты:
УМКД Решение нестандартных задач Мф-42(1)
rabota-po-matematike-invariat

Литература: [1] с.101-111.

Неделя 5
Количество часов: 1
Тема: Подчет двумя способами, соответствие
Содержание лекции.
При составлении уравнений выражают некоторую величину двумя способами (например, площадь, путь или время). Иногда некоторую величину оценивают двумя способами, тогда получают или неравенство, или величины разной чётности. Эта идея тесно связана с идеей инварианта. Она бывает источником противоречия (см. тему «Доказательство от противного»).
Пример 1. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5 × 5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце отрицательной?
Решение. Допустим, что можно. Найдем сумму всех чисел. Если считать её по строкам, то сумма будет положи- тельной, а если по столбцам - то отрицательной. Противоречие. Значит, так расставить числа нельзя.
Пример 2. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка | с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
Решение. Пусть m - число мальчиков, d - число девочек. Найдем общее количество «дружб» двумя способами. Поскольку каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, это число равно 4m. С другой стороны, каждая девочка дружит с пятью мальчиками, значит это число равно 5d. Получаем уравнение 4m = 5d. Поскольку m + d = 27, то m = 15, d = 12.
Пример 3. Могут ли все грани выпуклого многогранника иметь 6 и более сторон?
Решение. Нет, не могут. Оценим двумя способами среднее арифметическое всех углов всех граней. С одной стороны, среднее арифметическое углов n-угольника при n≥6 не меньше 120^◦. С другой стороны, к каждой вершине многогранника примыкают не менее трёх граней, и сумма примыкающих углов строго меньше 360^◦. Поэтому среднее арифметическое углов при каждой вершине строго меньше 120^◦.
Полученное противоречие доказывает, что такого многогранника не существует.
Соответсвие
Мы говорим, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие элемент второго множества, при этом каждый элемент второго множества соответствует ровно одному элементу первого множества. Иначе говоря, мы разбили элементы обоих множеств на пары, причём в каждую пару входит по элементу из каждого множества.
Если между двумя конечными множествами установлено взаимно однозначное соответствие, то можно утверждать, что они содержат одинаковое количество элементов, даже если пересчитать элементы этих множеств мы не можем. К примеру, чтобы узнать, равное ли количество дам и кавалеров пришло на бал, достаточно объявить танец. Если никто не остался без пары, значит тех и других поровну.
Если же мы установили соответствие между всеми элементами одного множества и частью элементов другого множества, то количество элементов в первом множестве меньше, чем во втором.

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 44