Кафедра математики

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

бет	6/44
Дата	03.01.2023
өлшемі	1.19 Mb.
	#405591
түрі	Лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 44

Байланысты:
УМКД Решение нестандартных задач Мф-42(1)
rabota-po-matematike-invariat

Пример 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Пример 2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.
Пример 3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.
Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным - нечётными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно, число нечётных марсиан чётно.
Литература: [1] с. 47-52

Неделя 4
Количество часов: 1
Тема: Обратный ход
Содержание лекции
Если в задаче задана некоторая операция, и эта операция обратима, то можно сделать «обратный ход» от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли.) Анализ с конца используется в играх при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
Пример 1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на двадцатый день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?
Решение. Начнем с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.
Ответ: за 19 дней.
Пример 2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков, а перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было по 20, а у Толи - 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т. е. у Пети было 10, у Толи - 40, у Вани - 70. И наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернем Пете.
Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани - 20, а у Толи - 35.
Пример 3. В квадрате ABCD на стороне AB внутри квадрата построили равнобедренный треугольник ABE с углами при основании AB равными 15^◦. Докажите, что треугольник CDE правильный.
Решение. Решим обратную задачу: докажем, что если треугольник CDE₁ правильный, то у треугольника ABE₁ углы при основании AB равны 15^◦ (рис. 3).
Поскольку ∠ADE₁ = 30^◦ и DE₁ = AD, то ∠E₁AD =
∠AE₁D= 75^◦. Значит, ∠E₁AB=15^◦. Аналогично
∠E₁BA = 15^◦.
Итак, мы доказали, что вершина E₁ правильного тре- угольника CDE₁ попадает как раз в ту точку E, которая дана в условии задачи. Значит, треугольник CDE правильный.

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 44