Кафедра математики

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

бет	16/44
Дата	03.01.2023
өлшемі	1.19 Mb.
	#405591
түрі	Лекции

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 44

Байланысты:
УМКД Решение нестандартных задач Мф-42(1)
rabota-po-matematike-invariat

Пример 3. Докажите, что число, в десятичной записи которого участвуют три единицы и несколько нулей, не может быть квадратом.
Решение. Если такое число существует, то оно делится на 3, но не делится на 9 (по признакам делимости на 3 и 9). Но если число делится на 3 и является полным квадратом, то оно делится на 9. Противоречие.
Алгоритм Евклида позволяет находить наибольший общий делитель чисел, решать линейные уравнения в целых числах. Алгоритм основан на следующем факте: «Если при делении числа a на b получается остаток r, то НОД(a;b) = НОД(b;r)».
Применение алгоритма Евклида заключается в последовательном делении с остатком. Сначала мы делим большее из двух чисел на меньшее. На каждом следующем шагу мы делим число, которое на предыдущем шагу было делителем, на число, которое на предыдущем шагу было остатком. Так поступаем до тех пор, пока не получим нулевой остаток. Это обязательно произойдёт через конечное число шагов, поскольку остатки всё время уменьшаются. Последний ненулевой остаток и будет наибольшим общим делителем исходных чисел.
Отметим, что этот алгоритм может быть применён для нахождения наибольшего общего делителя не только чисел, но также многочленов и других объектов более общей природы.
Пример 1. Даны углы m^◦и n^◦, где m и n - взаимно простые целые числа. Построить угол 1^◦.
Решение. Пусть при делении m на n получается частное q и остаток r. Вычитая q раз из угла m^◦угол n^◦, получим угол r^◦. Аналогично мы можем получить все углы, градусная мера которых равна остаткам, возникающим при применении алгоритма Евклида к числам m и n. Поскольку m и n взаимно просты, последний из этих остатков - 1.
Пример 2. Докажите, что числа 2^m−1 и 2ⁿ−1 взаимно просты тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

жүктеу/скачать 1.19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 44