Гаусс әдісімен кері матрицаны есептеу
Бізге айрықша емес матрица берілсін
Анықтама. Егер болса, онда А матрицасы айрықша емес матрица деп аталады.
Оның кері матрицасы анықтау үшін алгебра курсынан белгілі негізгі қатынасты қолданамыз, яғни: , мұндағы Е – бірлік матрица.
А және А-1 матрицаларын көбейтіп, белгісіздерін анықтауға мүмкіндік беретін n теңдеулер жүйесін аламыз.
мұндағы
.
жүйелердің барлығының матрицасы бірдей, ол берлген теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінің матрицасы, яғни бұл жүйелердің әрқайсысына Гаусс әдісін қолданып, бір уақытта шешуге болады.
Практикада арнайы кестелер қолданылады, мұнда есептеулер бақылау қосындылары арқылы тексеріліп отырылады.
Мысал 2.: Берілген матрица үшін кері матрицасын табыңдар:
.
Кесте 4 - Кері матрицаны анықтау кестесі
|
x1j
|
x2j
|
x3j
|
x4j
|
j=1
|
J=2
|
j=3
|
j=4
|
S
|
A
|
3,5
|
-2,3
|
-5,4
|
1,2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-2
|
2,1
|
-3,2
|
1,4
|
5,5
|
0
|
1
|
0
|
0
|
6,8
|
1,2
|
2,7
|
0
|
-4,9
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1,3
|
-1,2
|
-4,5
|
9,4
|
0
|
0
|
0
|
1
|
6
|
|
x1j
|
x2j
|
x3j
|
x4j
|
j=1
|
J=2
|
j=3
|
j=4
|
S
|
|
1
|
-0,657143
|
-1,542857
|
0,34286
|
0,28571
|
0
|
0
|
0
|
-0,5714
|
B
|
0
|
-1,82
|
4,64
|
4,78
|
-0,6
|
1
|
0
|
0
|
8
|
0
|
3,488571
|
1,8514286
|
-5,31143
|
-0,3429
|
0
|
1
|
0
|
0,68571
|
0
|
-0,345714
|
-2,494286
|
8,95429
|
-0,3714
|
0
|
0
|
1
|
6,74286
|
|
1
|
-2,549451
|
-2,62637
|
0,32967
|
-0,54945
|
0
|
0
|
-4,3956
|
C
|
|
0
|
10,745368
|
3,85086
|
-1,4929
|
1,9168
|
1
|
0
|
16,0201
|
|
0
|
-3,375667
|
8,04631
|
-0,2575
|
-0,18995
|
0
|
1
|
5,22323
|
|
|
1
|
0,35836
|
-0,1389
|
0,17838
|
0,0931
|
0
|
1,49084
|
D
|
|
|
0
|
9,25603
|
-0,7265
|
0,41219
|
0,3141
|
1
|
10,2558
|
|
|
|
1
|
-0,0785
|
0,04453
|
0,0339
|
0,10804
|
1,10803
|
E
|
|
|
|
|
-0,1701
|
0,16242
|
0,0809
|
-0,0387
|
1,03452
|
|
|
|
|
-0,159
|
-0,0184
|
0,2954
|
0,18504
|
1,30306
|
|
|
|
|
0,03719
|
0,22314
|
0,3073
|
0,02482
|
1,59244
|
Есептеуді бақылау үшін å бағанасын есептеп отыру қажет. Оның элементтері кестенің А бөлімінен басқа элементтері қандай жолмен есептелсе, сондай жолмен анықталады. Ал екінші жағынан å - қосындының элементтері жолдағы элементтердің қосындысына тең болады.
Мысалы:
1)
Екінші жағынан: ;
2)
2.2 Алгебралық теңдеулер жүйесін «Квадрат түбірлер» әдісімен шешу
Бізге (1.6.1) теңдеулер жүйесі берілген, А матрицасы симметриялы матрица, яғни .
Мұндай матрицаны транспонирленген екі үшбұрышты матрицаның көбейтіндісі түрінде жазуға болатыны алгебра курсынан белгілі, яғни
,
мұндағы
,
.
T және T’ матрицаларын көбейте отырып Т матрицасының элементтерін анықтауға мүмкіндік беретін төмендегідей формулаларды аламыз:
Егер , теңдігі орынды болса, онда теңдеулер жүйесі төмендегідей жүйелерге эквивалентті болады:
және
Теңдеулер жүйесін ашып жазсақ:
Бұл жүйеден т.с.с. аламыз.
Есептеу кезінде бақылау қосындылары қолданылады. Қайсыбір қосынды жолында болуы мүмкін, онда сәйкес элементтері жорамал сандар болады. Есептеулерді жеңілдету үшін кестелер қолданылады. Кестенің толтыру үлгісі зертханалық сабақтарды ұйымдастыру бөлімдерінде көрсетіледі.
Мысалы
72х - 6∙7х+5=0
«Есеп біреу - шешу жолы бірнеше»
1. Тәсіл (Крамер ережесі):
Жауабы: (2;3)
2-тәсіл (қосу)
3-тәсіл (алмастыру)
2.3 Алгебралық теңдеулер жүйесін «Негізгі элементтер» және «Халецкий» әдісімен шешу
Алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін:
Алгебралық теңдеулер жүйесінің коэффициенттері мен бос мүшелерінен тұратын кеңейтілген тікбұрышты матрицаны қарастырайық:
.
М матрицасынан бос мүшелер бағанында жатпайтын, модулі бойынша ең үлкен, нөлден айрықша элементті таңдаймыз. Ол элементі болсын, оны негізгі элемент деп атайды . Ал сәйкес жатық жол – негізгі жол деп аталады. Барлық жатық жолдар үшін көбейткіштерді есептейміз:
М матрицасымен төмендегідей амалдарды орындаймыз. М матрицасының әрбір негізгі емес жатық жолдарына негізгі жолдың сәйкес көбейткіштерге көбейтіп қосамыз. Нәтижесінде - ші бағананың - дан басқа элементері нөлге айналады. - тік жолмен негізгі жолды алып тастасқ, бір жатық, бір тік жолға кем М(1) матрицасын аламыз.
М(1) матрицасымен жоғарыдағыдай операцияларды жасасақ, М(1) матрицасының орнына бір жатық, бір тік жолдары кем болатын М(2) матрицасын аламыз. Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып,
тізбегін аламыз. Ең соңғы М(n-1) матрицасы екі элементті, бір жатық жолдан тұратын матрица. Бұл жатық жолда негізгі жол ретінде қарастырамыз.
Енді барлық матрицалардағы негізгі жатық жолдарды жинап жазсақ, белгісіздерді анықтауға мүмкіндік беретін үшбұрышты матрица аламыз.
Негізгі элементтер әдісімен теңдеулер жүйесін шешуге болады, егер жүйесін шешуге болады, егер жүйенің анықтауышы нөлден айрықша болса:
.
Сонымен, бұрын қарастырылған Гаусс әдісі негізгі элементтер әдісінің дербес түрі екендігін байқаймыз.
Халецкий әдісі
Бізге матрицалық түрде алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін.
- n – ші ретті квадрат матрица.
, - вектор – бағаналар.
A матрицасын екі ұшбұрышты матрицалардың көбейтіндісі түрінде жазайық,
.
Мұндағы
және
B және С матрицалары бір - біріне көбейтіп bij және cij элементтерін анықтауға мүмкіндік беретін төмендегідей формуланы аламыз:
b11=a11
bi1=ai1
Егер k>j, болса ckj=0, олай болса,
себебі
және
,
; егер , онда .
iСонымен:
Бұдан жүйенің белгісіздерін анықтауға мүмкіндік беретін екі теңдеулер жүйесін аламыз:
.
В және С үшбұрышты матрицаларын ашып жазсақ:
бұдан шығады:
,
Бұдан
Есептеулерді жеңілдету үшін арнайы кесте - Халецкий сызбасы төмендегідей түрде (кесте 5) қолданылады.
Кесте 5 - Халецкий сызбасы
|
|
|
|
Бос мүше
|
бақылау
|
|
A11
|
A12
|
A13
|
A14
|
A15
|
A16
|
I
|
A21
|
A22
|
A23
|
A24
|
A25
|
A26
|
A31
|
A32
|
A33
|
A34
|
A35
|
A36
|
A41
|
A42
|
A43
|
A44
|
A45
|
A46
|
B11
|
C12
|
C13
|
C14
|
B15
|
B16
|
II
|
B21
|
B22
|
C23
|
C24
|
C25
|
C26
|
B31
|
B32
|
B33
|
C34
|
C35
|
C36
|
B41
|
B42
|
C42
|
B44
|
C45
|
C46
|
|
|
|
|
Y1
|
X1
|
III
|
|
|
|
|
Y2
|
X2
|
|
|
|
|
Y3
|
X3
|
|
|
|
|
Y4
|
X4
|
Кестенің бірінші бөліміне матрицаның коэффициенттерін, оның бос мүшелерін және бақылау қосындыларын жазамыз.
сәйкес элементтерді бөлгеннен шығады.
Екінші тік жолдың элементерін анықтаймыз:
Екінші жатық жолдың элементтерін анықтайық:
Бақылау қосындысы элементтеріне қолданылған формуламен табылады. Екінші жағынан ол сол жолдағы Σ элементтердің қосындысымен анықталады.
Достарыңызбен бөлісу: |
