Чуженова Назым Шаденовна Тақырыбы: Лапластың локалдық теоремасы



бет2/2
Дата10.06.2022
өлшемі264.76 Kb.
#267570
1   2
Байланысты:
НазымРК1
хром (III) ж не марганец (II) осылыстары. Хром (III) ж не марга
тәуелсіз тесттербіз кездескен жерде Бернулли формуласы бойыншажәне тақырып бойынша типтік мысалдар жасады. Жергілікті және интегралды Лаплас теоремалары (Moivre-Laplace) ұқсас мәселені шешеді, олардың айырмашылығы тәуелсіз сынақтардың үлкен санына қолданылады. «Жергілікті», «интегралды», «теоремалар» сөздерін жасырудың қажеті жоқ - материал Лаплас Наполеонның бұйра басынан сипап өткендей жеңіл меңгерілген. Сондықтан, ешқандай кешендер мен алдын ала ескертулерсіз, біз бірден демонстрациялық мысалды қарастырамыз:
Монета 400 рет аударылды. Бастар 200 рет жерге түсу ықтималдығын табыңыз.
Сипаттамалық ерекшеліктерге сәйкес оны мұнда қолдану керек Бернулли формуласы  ... Бұл әріптердің мағынасын еске түсірейік:
- тәуелсіз сынақтарда кездейсоқ оқиға дәл бір рет болу ықтималдығы;
– биномдық коэффициент;
- әр тестте оқиғаның пайда болу ықтималдығы;
Біздің міндетімізге байланысты:
- тесттердің жалпы саны;
- бастары құлауы керек лақтырулар саны;
Осылайша, монетаның 400 рет лақтырылуы нәтижесінде бастар дәл 200 рет шығады: ... Тоқтаңыз, әрі қарай не істеу керек? Микро калькулятор (кем дегенде менікі) 400 -ші дәрежеге төтеп бере алмады факторлар... Бірақ мен жұмыс арқылы санағым келмеді =) Қолданайық Excel стандартты функциясы, ол монстрты өңдеуге қол жеткізді :.
Мен сіздің назарыңызды алынған нәрсеге аударамын дәлмағынасы және мұндай шешім мінсіз болып көрінеді. Алғашқы қарағанда. Міне, кейбір дәлелді қарсы дәлелдер:
- біріншіден, бағдарламалық қамтамасыз ету қолда болмауы мүмкін;
- екіншіден,
шешім қораптан тыс көрінеді (үлкен ықтималдықпен сіз қайта шешуге тура келеді);
Сондықтан, құрметті оқырмандар, жақын арада біз күтеміз:

Жергілікті Лаплас теоремасы


Егер әр тестте кездейсоқ оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болса, онда оқиғаның сынақтарда дәл бір рет болу ықтималдығы шамамен тең:
, қайда.

Бұл жағдайда неғұрлым үлкен болса, есептелген ықтималдық дәл алынған мәнді жақындатады (кем дегенде гипотетикалық)Бернулли формуласы бойынша. Ұсынылатын ең аз тест саны шамамен 50-100 құрайды, әйтпесе нәтиже шындықтан алыс болуы мүмкін. Сонымен қатар, жергілікті Лаплас теоремасы соғұрлым ықтималдығы 0,5 -ке жақындаған сайын жақсы жұмыс істейді және керісінше - бұл нөлге немесе бірге жақын мәндерде елеулі қате береді. Осы себепті формуланы тиімді қолданудың тағы бір критерийі  теңсіздіктің орындалуы болып табылады () .
Мәселен, егер, егер, онда 50 тест үшін Лаплас теоремасын қолдану ақталған. Бірақ егер және, онда жуықтау (нақты мәнге дейін)жаман болады.
Неліктен және арнайы функция  туралы сабақта сөйлесетін боламыз ықтималдықтың қалыпты таралуы, бірақ қазір бізге мәселенің ресми есептік жағы қажет. Атап айтқанда, маңызды факт паритетбұл функция:  .
Біздің мысалмен ресми қарым -қатынасты ресімдейік:
Есеп 1
Монета 400 рет аударылды. Бастардың дәл келу ықтималдығын табыңыз:
а) 200 есе;
б) 225 рет.
Неден бастау керек шешім? Алдымен, белгілі құндылықтарды көз алдымызда болатындай етіп жазайық:
- тәуелсіз сынақтардың жалпы саны;
- әр лақтыруда бас алу ықтималдығы;
- құйрықты алу ықтималдығы.
а) 400 лақтыру сериясында бастың бір рет құлау ықтималдығын табайық. Тесттердің көп болуына байланысты біз жергілікті Лаплас теоремасын қолданамыз:  , қайда  .
Бірінші қадамда біз аргументтің қажетті мәнін есептейміз:
Әрі қарай, функцияның сәйкес мәнін табамыз:. Мұны бірнеше жолмен жасауға болады. Ең алдымен, әрине, тікелей есептеулер мынаны көрсетеді:

Дөңгелектеу, әдетте, 4 ондық бөлшекке дейін жүргізіледі.


Тікелей есептің кемшілігі - әрбір микрокалькулятор экспонентті қорыта алмайды, сонымен қатар есептеулер өте жағымды емес және уақытты қажет етеді. Неге сонша азап шегесің? Қолдану аумақ бойынша калькулятор (4 -тармақ)және бірден құндылықтарды алыңыз!
Сонымен қатар, бар функция мәні кестесі, ықтималдықтар теориясы бойынша кез келген кітапта, атап айтқанда, оқулықта бар В.Е. Гмурман... Жүктеу, әлі жүктелмеген - әдетте пайдалы ақпарат көп ;-) Электрондық кестені қолдануды үйренуді ұмытпаңыз (дәл қазір!)- әрқашан қолайлы компьютерлік технологиялар болмауы мүмкін!
Соңғы кезеңде біз формуланы қолданамыз  :
- 400 лақтыру кезінде бас 200 рет құлап кету ықтималдығы.
Көріп отырғаныңыздай, алынған нәтиже есептелген нақты мәнге өте жақын Бернулли формуласы.
б) 400 сынақ сериясында бастар бір рет құлап кету ықтималдығын табайық. Біз жергілікті Лаплас теоремасын қолданамыз. Бір, екі, үш - және сіз аяқтадыңыз:


Қажетті ықтималдық.
Жауап:
Келесі мысал, көпшілік ойлағандай, босануға арналған - және бұл сіз өзіңіз шешесіз :)
Есеп 2
Ұл туылу ықтималдығы 0,52. 100 жаңа туған нәрестенің ішінде дәл болу ықтималдығын табыңыз: а) 40 ұл, ә) 50 ұл, в) 30 қыз.
Нәтижелерді 4 ондық таңбаға дейін дөңгелектеңіз.
... Бір қызығы, мұнда «тәуелсіз тесттер» тіркесі естіледі =) Айтпақшы, нақты статистикалық ықтималдықұлдың дүниеге келуі әлемнің көптеген аймақтарында 0,51 -ден 0,52 -ге дейін.
Сабақтың соңында тапсырма құрастырудың шамамен үлгісі.
Барлығы сандар өте аз болып шығатынын байқады және бұл жаңылыстыруға болмайды - біз бөлек қабылданған ықтималдықтар туралы айтып отырмыз, жергіліктімәндер (сондықтан теореманың атауы). Және мұндай құндылықтар көп, және бейнелеп айтқанда, ықтималдылық «барлығына жеткілікті болуы керек». Рас, көптеген оқиғалар болады мүмкін емес дерлік.
Жоғарыда айтылғандарды монеталармен мысалмен түсіндіруге рұқсат етіңіз: төрт жүз сынақ сериясында бүркіт теориялық тұрғыдан 0 -ден 400 есеге дейін құлап кетуі мүмкін және бұл оқиғалар толық топ:
Алайда, бұл мәндердің көпшілігі қарапайым ғана, сондықтан, мысалы, бастың 250 есе құлау ықтималдығы қазірдің өзінде он миллионға тең:. Сияқты құндылықтар туралы  ұқыпты үндеме =)
Екінші жағынан, қарапайым нәтижелерді елемеуге болмайды: егер бұл тек туралы болса, онда бастардың құлау ықтималдығы, айталық, 220 -дан 250 есеге дейінөте айқын болады.
Енді ойланайық: бұл ықтималдылықты қалай есептеу керек? Санамаңыз сәйкес келмейтін оқиғалардың ықтималдығы үшін қосымша теоремасысомасы:
Бұл мәндер әлдеқайда қарапайым біріктіру... Ал бір нәрсенің комбинациясы, сіз білетіндей, аталады біріктіру:

Лаплас интегралды теоремасы


Егер әр сынақта кездейсоқ оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болса, онда ықтималдылық  сынақ кезінде бұл оқиға болады кем емес және көп емес (уақытты қоса алғанда), шамамен тең:
Бұл жағдайда тесттер саны, әрине, жеткілікті үлкен болуы керек және ықтималдығы тым аз / жоғары емес. (шартты түрде), әйтпесе жуықтау маңызды емес немесе нашар болады.
Функция деп аталады Лаплас функциясыжәне оның мәндері қайтадан стандартты кестеде жинақталған ( табыңыз және онымен жұмыс істеуді үйреніңіз !!). Бұл жерде микрокалькулятор көмектеспейді, өйткені интеграл айнымалы емес. Бірақ Excel -де сәйкес функция бар - пайдалану нүкте 5 дизайн макеті.
Іс жүзінде келесі мәндер жиі кездеседі:
- дәптерге көшіру.
Бастап, біз мынаны болжай аламыз, немесе қатаң түрде: 

Сонымен қатар, Лаплас функциясы тақ, және бұл мүлік бізді бұрыннан күтіп жүрген міндеттерде белсенді қолданылады:
3 -мәселе
Нысананың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7. 100 ату кезінде нысанаға 65-80 рет тию ықтималдығын табыңыз.
Мен ең шынайы мысалды таңдадым, әйтпесе мен мерген мыңдаған соққылар жасайтын бірнеше мәселені таптым =)
Шешім: бұл мәселеде біз айтып отырмыз қайталанатын тәуелсіз тесттержәне олардың саны өте үлкен. Шартқа сәйкес, нысанаға кемінде 65, бірақ 80 еседен артық емес түсу ықтималдығын табу қажет, яғни Лаплас интегралды теоремасын қолдану қажет :, мұнда
Ыңғайлы болу үшін бастапқы деректерді бағанға қайта жазайық:
- жалпы соққылар;
- соққылардың ең аз саны;
- соққылардың максималды саны;
- әр ату кезінде нысанаға тигізу ықтималдығы;
- әр ату кезінде жіберіп алу ықтималдығы.
Демек, Лаплас теоремасы жақсы жуықтайды.
Аргументтердің мәндерін есептейік:

Мен сіздердің назарларыңызға шығарманы түп -тамырынан алудың қажет еместігіне назар аударамын (сандардың «реттелуін» ұнататын есептердің авторлары ретінде)- күмәнсіз, тамырды шығарып,
нәтижені дөңгелектеңіз; Мен ондық үтірден 4 таңбаны қалдыруға дағдыланғанмын. Бірақ алынған мәндер әдетте 2 ондық бөлшекке дөңгелектенеді - бұл дәстүр функция мәндерінің кестелерімұнда дәлелдер дәл осы түрде берілген.
Біз жоғарыдағы кестені немесе тервер бойынша есептеу макеті (5 тармақ).
Жазбаша түсініктеме ретінде сізге келесі сөйлемді қоюға кеңес беремін: сәйкес кестеге сәйкес функцияның мәндерін табамыз:

- 100 ату кезінде нысанаға 65 -тен 80 есеге дейін түсу ықтималдығы.


Тақ функцияны қолданғаныңызға сенімді болыңыз!Болған жағдайда мен егжей -тегжейлі жазамын:

Істің мәні мұнда функция мәні кестесіқұрамында тек оң «x» бар, біз жұмыс жасаймыз (кем дегенде «аңызға» сәйкес)үстелмен!


Жауап:
Нәтиже көбінесе 4 ондық таңбаға дейін дөңгелектенеді. (қайтадан кесте форматына сәйкес).
Тәуелсіз шешім үшін:
Есеп 4
Ғимаратта 2500 шам бар, олардың әрқайсысының кешке қосылу ықтималдығы 0,5. Кешке 1250 -ден кем емес және 1275 -тен аспайтын шамдардың қосылу ықтималдығын табыңыз.
Сабақ соңында аяқтаудың өрескел мысалы.
Айта кету керек, қаралатын міндеттер «жеке емес» түрінде жиі кездеседі, мысалы:
Кездейсоқ оқиға 0,5 ықтималдылықпен пайда болатын кейбір эксперимент жасалады. Тәжірибе өзгеріссіз жағдайда 2500 рет қайталанады. 2500 тәжірибеде оқиға 1250 -ден 1275 ретке дейін болу ықтималдығын анықтаңыз
Және ұқсас формулалар шатырдың үстінде. Стереотиптік міндеттерге байланысты бұл шартты жиі жабуға тырысады - бұл шешімді әртараптандыруға және қиындатуға «жалғыз мүмкіндік»:
Есеп 5
Институтта 1000 студент бар. Асхана 105 орынға арналған. Әр студент үлкен үзіліс кезінде асханаға 0.1 ықтималдылығымен барады. Әдеттегі оқу күнінде ықтималдығы қандай:
а) асхана үштен екісінен аспайтын болады;
б) барлық адамдарға арналған орындар жеткіліксіз.
Мен сіздің назарыңызды «қалыпты мектеп күнінде» деген маңызды тармаққа аударғым келеді - бұл жағдайдың салыстырмалы түрде өзгермейтініне кепілдік береді. Каникулдан кейін институтқа едәуір аз студенттер келуі мүмкін, ал аш делегация «Ашық есік күнінде» пайда болуы мүмкін =) Яғни, «ерекше» күні ықтималдылық айтарлықтай ерекшеленеді.
Шешім: біз Лаплас интегралды теоремасын қолданамыз, мұнда
Бұл тапсырмада:
- барлық институт студенттері;
- студенттің үлкен үзіліс кезінде асханаға бару ықтималдығы;
- қарама -қарсы оқиғаның ықтималдығы.
а) Орынның үштен екісі қанша орын екенін есептеңіз: орындар
Әдеттегі оқу күнінде буфеттің үштен екісінен аспайтын ықтималдығын табыңыз. Бұл нені білдіреді? Бұл 0 -ден 70 -ке дейін үлкен үзіліске келеді дегенді білдіреді. Ешкім келмейтіні немесе бірнеше студент келетіні - оқиғалар бар мүмкін емес дерлікалайда, Лаплас интегралды теоремасын қолдану үшін бұл ықтималдықтарды әлі де ескеру қажет. Осылайша:

Сәйкес аргументтерді есептейік:

Нәтижесінде:

- әдеттегі оқу күнінде буфеттің үштен екісінен аспайтын ықтималдығы.


Еске салғыш : үшін, Лаплас функциясы тең деп есептеледі.
Үйме, алайда =)
б) оқиға «Барлығына бірдей орын болмайды»үлкен үзілісте асханаға 106 -нан 1000 -ға дейін адам келетіндігінде (ең бастысы - жақсы тығыздау =)).Көрермендердің келуі керемет екені түсінікті, бірақ соған қарамастан:  .
Біз аргументтерді есептейміз:

Осылайша, барлығына орын жеткіліксіз болу ықтималдығы:
Жауап:
Енді біреуіне тоқталайық маңызды нюансәдіс: біз есептеулерді жүргізген кезде бір сегмент, онда бәрі «бұлтсыз» - қарастырылған үлгі бойынша шешіңіз. Алайда, қарастырылған жағдайда оқиғалардың толық тобыкөрсету керек белгілі бір дәлдік... Бұл мәселені жаңа талданған мәселенің мысалында түсіндіруге рұқсат етіңіз. «Bh» нүктесінде біз бәріне орын жетпеу ықтималдығын таптық. Әрі қарай, сол схемаға сәйкес біз есептейміз:
- орындардың жеткілікті болу ықтималдығы.
Осы оқиғалардан бері қарама -қарсы, онда ықтималдықтардың қосындысы біреуіне тең болуы керек:
Не болды? - мұнда бәрі логикалық сияқты. Мәселе мынада, Лаплас функциясы үздіксіз, бірақ біз ескермедік интервал 105 -тен 106 -ға дейін. Бұл жерде 0.0338 бөлігі жоғалды. Сондықтан сол стандартты формула бойыншаесептеу керек:
Жақсы, немесе одан да қарапайым:
Деген сұрақ туындайды: егер біз БІРІНШІ табылса ше? Содан кейін шешімнің басқа нұсқасы болады:
Бірақ бұл қалай болуы мүмкін?! - әр түрлі жауаптар екі жолмен алынады! Бұл қарапайым: Лаплас интегралды теоремасы - бұл әдіс шамаменесептеулер, сондықтан екеуі де қолайлы.
Нақтырақ есептеулер үшін пайдалану керек Бернулли формуласы бойыншажәне, мысалы, Excel функциясы БИНОМДИСТ... Нәтижесінде оның қолданылуыБіз алып жатырмыз:
Мен осы нәзіктікке назар аударған сайт келушілерінің біріне ризашылығымды білдіремін - бұл менің көзқарасымнан шығып кетті, өйткені оқиғалардың толық тобын зерттеу тәжірибеде сирек кездеседі. Қызығушылық танытқандар таныса алады
Лаплас функциясы қарапайым емес функция болып табылады және дифференциалдық теңдеулер теориясында да, ықтималдық теориясында да, статистикада да жиі қолданылады. Лаплас функциясы белгілі бір білім мен дайындықты қажет етеді, себебі ол қолданбалы және теориялық қолдану саласындағы әр түрлі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Лаплас функциясы дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін жиі қолданылады және оны ықтималдық интегралы деп атайды. Бұл функцияны Excel -де қалай қолдануға болатынын және оның қалай жұмыс істейтінін қарастырайық.
«NORMSTRASP» операторы ықтималдық интегралына немесе Excel -де Laplace функциясына сәйкес келеді, оның синтаксисі бар: «= NORMSTRASP (z). Бағдарламаның жаңа нұсқаларында оператордың «NORM.ST.DIST» атауы да бар. және сәл өзгертілген синтаксис «= NORM.ST.DIST (z; жинақталған).

«Z» аргументі таратудың сандық мәніне жауап береді. «Кумулятивті» аргумент - екі мәнді қайтарады - «1» - кумулятивті үлестіру функциясы, «0» - салмақ үлестіру функциясы.
Теория реттелген кезде. Жаттығуға көшейік. Excel бағдарламасында Laplace функциясын қолдануды қарастырыңыз.
1. Мәнді ұяшыққа жазайық, функцияны келесіге енгізіңіз.
2. Функцияны қолмен жазайық “= NORM.ST.DIST (B4; 1).
3. Немесе функцияны енгізу шеберін қолданыңыз - «Статикалық» санатына өтіп, «Толық алфавиттік тізім.

4. Функция аргументтерінің пайда болған терезесінде бастапқы мәндерді көрсетіңіз. «Z» айнымалысы үшін біздің бастапқы ұяшық жауап береді, ал «Интегралға» «1» енгіземіз. Біздің функция кумулятивті үлестіру функциясын қайтарады.

5. Біз берілген «NORM.ST.DIST» функциясы үшін стандартты қалыпты кумулятивті үлестірудің дайын шешімін аламыз. Бірақ бұл бәрі емес, біздің мақсатымыз Лаплас функциясын немесе ықтималдық интегралын табу болды, сондықтан тағы бірнеше қадам жасайық.

6. Лаплас функциясы алынған функцияның мәнінен «0,5» -ті алып тастау керек дегенді білдіреді. Біз функцияға қажетті операцияны қосамыз. «Enter» түймесін басып, соңғы шешімді алыңыз. Қажетті мән дұрыс және тез табылды.

Excel бұл функцияны кез келген ұяшық мәні, ұяшықтар ауқымы немесе ұяшық сілтемелері үшін оңай есептейді. «NORM.ST.DIST» функциясы ықтималдық интегралын табудың стандартты операторы немесе оны Лаплас функциясы деп те атайды.
2.1. Лаплас функциясы (ықтималдық интегралы)ұқсайды:
Лаплас функциясының графигі 5 суретте көрсетілген.
Функция F(NS) кестеде келтірілген (Қосымшаның 1 -кестесін қараңыз). Бұл кестені қолдану үшін сіз білуіңіз керек Лаплас функциясының қасиеттері:
1) Ф функциясы ( NS) тақ: F(-NS)= -F(NS).
2) функция F(NS) монотонды түрде жоғарылайды.
3) F(0)=0.
4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ ) = - 0,5. Іс жүзінде x³5 үшін функция деп есептеуге болады F(NS) = 0,5; x £ -5 үшін функция F(NS)=-0,5.
2.2. Лаплас функциясының басқа түрлері бар:
және 
Бұл формалардан айырмашылығы, функция F(NS) стандартты немесе нормаланған Лаплас функциясы деп аталады. Ол қарым -қатынастың басқа түрлерімен байланысты:













МИСАЛ 2.Үздіксіз кездейсоқ шамасы NSпараметрлері бар қалыпты таралуы бар: м=3, с= 4. Тексеру нәтижесінде кездейсоқ шаманың болу ықтималдығын табыңыз NS: а) (2; 6) интервалына алынған мәнді қабылдайды; б) 2 -ден кіші мәнді қабылдайды; в) 10 -нан үлкен мәнді қабылдайды; г) математикалық күтуден 2 -ден аспайтын мөлшерге ауытқиды. Есептің шешілуін графикалық түрде көрсет.
Шешім.а) Қалыпты кездейсоқ шаманың болу ықтималдығы NSкөрсетілген аралыққа түседі ( а, б), қайда а= 2 және б= 6 тең:
Лаплас функциясының мәндері F (x)ескере отырып, қосымшада берілген кестеге сәйкес анықталады F(–NS)= –F(NS).





ә) Қалыпты кездейсоқ шаманың болу ықтималдығы NS 2 -ден кіші мәнді алады, оған тең:
в) Қалыпты кездейсоқ шаманың болу ықтималдығы NS 10 -нан үлкен мәнді алады, мынаған тең:
d) Қалыпты кездейсоқ шаманың болу ықтималдығы NS d= 2, мынаған тең:
Геометриялық тұрғыдан есептелген ықтималдықтар сандық түрде қалыпты қисық астындағы көлеңкелі аймақтарға тең (6 -суретті қараңыз).



















Күріш. 6. Кездейсоқ шаманың қалыпты қисығы NS~Н.(3;4)
МЫСАЛ 3.
Білік диаметрі жүйелік (бір белгі) қателіктерсіз өлшенеді. Кездейсоқ өлшеу қателіктері стандартты ауытқуы 10 мм болатын қалыпты таралу заңына бағынады. Өлшеудің абсолюттік мәнінде 15 мм аспайтын қателікпен жасалу ықтималдығын табыңыз.
Шешім.Кездейсоқ қателердің математикалық күтімі нөлге тең м NSаз мөлшерде математикалық күтуден ауытқиды d= 15 тең:
МИСАЛ 4... Машина шарлар шығарады. Доп ауытқу кезінде жақсы деп есептеледі NSшардың диаметрі дизайн өлшемінен абсолюттік мәнде 0,7 мм -ден аз. Кездейсоқ шама деп есептейміз NS 0,4 мм стандартты ауытқуы бар қалыпты түрде таратылған, 100 дана арасындағы жақсы шарлардың орташа санын табыңыз.
Шешім.Кездейсоқ мән NS- шардың диаметрінің есептік өлшемнен ауытқуы. Ауытқудың математикалық күтуі нөлге тең, яғни. М.(NS)=м= 0. Содан кейін қалыпты кездейсоқ шаманың ықтималдығы NSаз мөлшерде математикалық күтуден ауытқиды d= 0,7, мынаған тең:
Демек, 100 -ден шамамен 92 доп қолдануға жарамды болады.
МЫСАЛ 5.«3» ережесін дәлелдеңіз с».
Шешім.Қалыпты кездейсоқ шаманың болу ықтималдығы NSаз мөлшерде математикалық күтуден ауытқиды d = 3с, мынаған тең:
МЫСАЛ 6.Кездейсоқ мән NSәдетте күту арқылы таратылады м= 10. Ықтималдылық NS(10, 20) интервалында 0,3 құрайды. Соққының ықтималдығы қандай NS(0, 10) интервалында?
Шешім.Қалыпты қисық сызыққа қатысты симметриялы NS=м= 10; демек, жоғарыдан қалыпты қисықпен және төменнен (0, 10) және (10, 20) интервалдарымен шектелген аудандар бір -біріне тең. Аймақтар сандық ықтималдыққа тең болғандықтан NSсәйкес интервалда.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2




©melimde.com 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
Сабақтың тақырыбы
бойынша жиынтық
жиынтық бағалау
Сабақ тақырыбы
Сабақтың мақсаты
ғылым министрлігі
тоқсан бойынша
бағдарламасына сәйкес
бағалауға арналған
Сабақ жоспары
Реферат тақырыбы
жиынтық бағалауға
сәйкес оқыту
арналған тапсырмалар
Қазақстан республикасы
білім беретін
оқыту мақсаттары
бағалау тапсырмалары
рсетілетін қызмет
Жалпы ережелер
жиынтық бағалаудың
республикасы білім
бекіту туралы
тоқсанға арналған
Қазақстан тарихы
Қазақстан республикасының
мерзімді жоспар
арналған жиынтық
қызмет стандарты
болып табылады
арналған әдістемелік
жалпы білім
бағалаудың тапсырмалары
Мектепке дейінгі
оқыту әдістемесі
Қазақ әдебиеті
пәнінен тоқсанға
нтізбелік тақырыптық
Зертханалық жұмыс
Инклюзивті білім
Әдістемелік кешені
республикасының білім
білім берудің
туралы жалпы
Қазақстанның қазіргі
Қысқа мерзімді
Жұмыс бағдарламасы
қазақ тілінде
туралы хабарландыру
қазіргі заман
атындағы жалпы