Бірінші ретті дифференциалдық

Loading...


бет1/2
Дата04.05.2021
өлшемі298.53 Kb.
  1   2

1-тарау


БІРІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР


§1. Жалпы түсініктер
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп

F (x, y, y)  0

(1)



түріндегі байланысты айтады. Мұндағы, x - тəуелсіз айнымалы,

y y(x)

белгісіз функция,



F (x, y, y)

– айнымалылар




x, y, y  dy

dx

  • тердің берілген функциясы.

Теңдеуді (1) y´ бойынша шешуге болса,

y

f (x, y)

(2)


туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп атайды. Бірінші ретті теңдеудің

P(x, y)dx Q(x, y)dy  0
түріндегі жазбасы жиі кездеседі, мұндағы, P(x, y), Q(x, y)

айнымалылардың х, у берілген функциялары. Шындығында



y  dy

dx
десек, (2) теңдеуді

dy

dx
f (x, y),

dy

f (x, y)dx,

f (x, y)dx dy  0

түріне келтіріп, жалпы жағдайда, P(x, y)dx Q(x, y)dy  0 тең- деуіне көшеміз жəне керісінше:



Q(x, y)dy  P(x, y)dx

dy P(x, y)

f (x, y)   P(x, y)

dx Q(x, y) Q(x, y)

y f (x, y) (a,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданып,

теңдеуді (1) немесе (2) тепе-теңдікке айналдыратын y  (x)

функциясы, теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталады, яғни

x  (a, b) үшін:


F x,(x), d(x)  0 .

d(x)



f (x,(x)) .

dx dx

Егер ол y -ті x -тің теңдеу (2) шешімі болатын y (x) функ-



циясы түрінде анықтаса, қатынас

(x, y)  0



теңдеудің (2) айқын

емес шешімі (немесе теңдеудің (2) интегралы) деп аталады.

Теңдеудің (2) шешімінің

y  (x)

графигін, осы теңдеудің



интегралдық сызығы деп атайды. Шешім графигінің ордината осіне проекциясы дифференциалдық теңдеудің фазалық сы- зығы (немесе траекториясы) деп аталады.


0
Теңдеудің (2), бастапқы шартты y0 (x ) қанағаттанды-

ратын y (x) шешімін табу есебін Коши есебі немесе бас-



тапқы шартпен берілген есеп дейді.

Дифференциалдық теңдеудің



dy

dx
f (x, y),

(x, y)  G - жазықтықтағы аумақ,



Егер осы аумақта

f (x, y) жəне оның дербес туындысы df

dy

үзіліссіз болса, кез келген нүктеден (x0 , y0 )  G өтетін жалғыз

шешімі бар. Бұл тұжырым Коши есебінің шешімінде жəне жал- ғыз болуы туралы теоремада беріледі.



Дифференциалдық теңдеудің

F (x, y, y)  0 ,

F (x, y, z)

функциясы, дербес туындылары F , F
кеңістіктің

(x, y, z)  



y z

облысында үзіліссіз делік. Онда:

(x, y,C)  0 . (3)

Егер кез келген C мəнінде теңдеуді қанағаттандырса неме-



се (x, y, z)

аумақта үзіліссіз дифференциалданатын жəне



y y(x)

дей отырып:



Ô

x

Ô y  0

y



(4) теңдігін алып, (3), (4) теңдеулер жүйесінен C -ны жойғанда,

  1. теңдеуге эквивалентті теңдеу шығатын болса, теңдеудің (1)

жалпы интегралы деп аталады.

Теңдеуді (1) C - параметрінен тəуелді сызықтар жиынтығы- ның (3) дифференциалдық теңдеуі деп те атайды.

    1. мысал. y x 1  e функциясы, теңдеудің x dy   x

x



x dx

шешімі екендігіне көз жеткізу керек.

Шешуі. Берілген функцияның туындысын есептейміз:


 
dy  1 ex dx x ex  1 ex ex dx dx x x x

Онда:


x dy y x 1 ex ex dx x 1 ex dx xex ,


dx

x

x

яғни берілген функция дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдырады, теңдеудің шешімі.

    1. мысал. Функция y (x) параметрмен берілген: x tet ,

y et .

Осы функция теңдеудің дəлелдеу керек.

(1  xy) dy y 2  0

dx

шешімі екендігін



Шешуі.

x  (t 1)et ,

y  et , . dy yt 1


t t
dx xt (t  1)e

2t

Параметрдің əрбір мəнінде

(1  xy) dy y 2  (1  tetet ) 1 e2t  0 ,



dx  (t  1)e2t

функция y (x) теңдеудің шешімі.



    1. мысал. Сызықтар жиынтығының y  (x C)3 дифферен- циалдық теңдеуін құру керек.

Шешуі. Дифференциалдау нəтижесінде y 3(x C)2 теңдігін,

ал бұдан:

y3  27(x C )6,

y3  27y 2

теңдеуін аламыз.



Бағыттар өрісі. Дифференциалдық теңдеу y f (x, y) нүкте

координаталары (x, y) - пен, интегралдық сызыққа осы нүктеде

жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін dy tg
бай-

ланыстырады, яғни:
tg  dy

dx

dx
f (x, y).

Егер функция

f (x, y)

жазықтықтың D аумағында анықталса,

онда əрбір нүктеге M D бұрыштық коэффициенті f (x, y) бо-

латын бағыт сəйкес. Бағытты бірлік вектормен көрсетіп, D - ау- мағында бағыттар өрісін аламыз.

Теңдеудің интегралдық сызықтары, əрбір нүктесіне жанама- сының бағыты, бағыттар өрісімен бірдей болатын сызықтар.



Геометриялық, кескіні бойынша, теңдеуді шешу үшін бағыттар өрісін құрып, əрбір нүктесіндегі жанамасы өріс бағытымен бірдей болатын сызықты тұрғызамыз.

1-сурет 2-сурет

Бағыттар өрісін құру үшін қажетті, интегралдық сызықтарға жанамалары тұрақты бағытта болатын нүктелердің геометрия- лық орнын изоклин деп атайды. Изоклиндерді құру əдісімен де теңдеуді шешуге болады.

    1. мысал. сызу керек.

y'  теңдеуінің интегралдық сызықтарын

Шешуі.  K изоклин теңдеуі радиусы K шеңбер

болғандықтан, интегралдық сызықтар эскизі оңай құрылады (3-сурет).




3-сурет



    1. мысал. Изоклин əдісімен жуықтап, берілген теңдеудің


x dy  2y dx
интегралдық сызықтарын тұрғызу керек.

Шешуі. Абсцисса осі

y  0

теңдеудің шешімі, интегралдық



сызықтар осьтер бойынша симметриялы.


Изоклиндер kx  2y ,

y k x

2

теңдігімен анықталады.



Кез келген k  0 мəнінде, түзудің

y k x кез келген нүктесінде,

2


дифференциалдық теңдеу интегралына жанама, абсцисса өсімен

arctg k

бұрышын жасайды. Бірнеше изоклиндерді жəне бағыт-



тар өрісін сызып, теңдеудің интегралдық сызықтарын жуықтап тұрғызамыз:




Достарыңызбен бөлісу:
  1   2
Loading...




©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
Сабақтың тақырыбы
Сабақтың мақсаты
бойынша жиынтық
жиынтық бағалау
Сабақ тақырыбы
рсетілетін қызмет
ғылым министрлігі
Жалпы ережелер
қызмет стандарты
тоқсан бойынша
бекіту туралы
Әдістемелік кешені
бағалауға арналған
Сабақ жоспары
туралы хабарландыру
тоқсанға арналған
жиынтық бағалаудың
арналған жиынтық
Қазақстан республикасы
бағалау тапсырмалары
жиынтық бағалауға
арналған тапсырмалар
бағалаудың тапсырмалары
Қазақстан республикасының
республикасы білім
білім беретін
пәнінен тоқсанға
Жұмыс бағдарламасы
біліктілік талаптары
Қазақстан тарихы
арналған әдістемелік
әкімінің аппараты
туралы анықтама
мамандығына арналған
қойылатын жалпы
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
мемлекеттік әкімшілік
Қазақ әдебиеті
мерзімді жоспар
Мектепке дейінгі
жалпы конкурс
қатысушыларға қойылатын
әдістемелік кешені
оқыту әдістемесі
Қазақстан облысы
ортақ біліктілік
қызмет регламенті
пәнінен тоқсан
мамандығы бойынша
болып табылады

Loading...