Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі



бет7/7
Дата24.12.2021
өлшемі426.79 Kb.
#148029
1   2   3   4   5   6   7
Байланысты:
Бахадирова Нилуфар кр
письмо другу

14


1

t

0



1.2 Сурет

Берілген функциясы - аралықта анықталсын және түпнұсқаның (2), (3) шарттарын қанағаттандырсын. Ал болғанда шарты орындалсын. Егер функциясын қарастырсақ, яғни



болса, (6)

онда функциясы түпнұсқа болады. Мұндағы көбейткіші түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Сондықтан, алдағы уақытта функциясының Лаплас түрлендіруінде функциясы берілген деп есептеп, оның орнына қысқаша деп жазамыз.


2. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері
Түрлендірудің сызықтылығы

Егер функциялары түпнұсқалар, ал олардың бейнелері тиісінше және шамалары t-мен р-ға тәуелсіз болса, онда мына арақатынастар орындалады:



Егер интегралы функциялары үшін жарты жазықтығында жинақталса, онда интегралы жарты жазықтығында жинақталады.

Түпнұсқаны дифференциалдау



Егер өсу көрсеткіші болатын функциясы мен оның туындысы түпнұсқалар, ал функциясы түпнұсқасының бейнесі болса, онда мынадай сәйкестік орындалады:


Дербес жағдайда, егер болса, онда



Дәлелдеу үшін интегралын бөліктеп интегралдаймыз:



Ал болғандықтан



бағалауын аламыз.

Сондықтан болады да сәйкестігін аламыз.

Бұл қасиетті жалпылауға болады.

Егер өсу көрсеткіші болатын туындылары түпнұсқа болса, онда мынадай сәйкестіктер алуға болады:



Дербес жағдайда, егер болса, онда


Түпнұсқаны интегралдау

Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда



Дәлелдеу үшін деп белгілейік те, түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланайық. Сонда алынады.

Егер сәйкестігін белгілесек деп жазуға болады. Мұнда екендігі ескерілген. Ал болғандықтан  сәйкестігі шығады. Осыдан  яғни



Ұқсастық теоремасы



Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда



Мұндағы α-кез-келген сан. Шынында да анықтама бойынша



Интегралды ауыстыруын қолданып түрлендіреміз. Сонда мынадай нәтиже аламыз:

Кешеуілдеу теоремасы



Егер және -түпнұсқа болса, онда



Дәлелдеу,

Мына интегралында ауыстыруын қолданып түрлендіреміз. Сонда


Мұнда болғанда болғандықтан теңдігі орындалады.

Осыдан шығады да, теорема дәлелденеді.

“Кешеуілдеу” терминінің мағынасына тоқталайық.







0 t 0 (τ,0) t


3.1 сурет 3.2 сурет
3.1 суретте функциясының графигі. Ал 3.2 суретте функциясының графигі. функциясының графигіне қарағанда t осінің оң бағыты бойынша τ шамасына жылжытылған. Осыдан функциясымен сипатталатын құбылыс функциясымен сипатталатын құбылысқа қарағанда τ уақытқа кештеу басталатындығы көрінеді.
Ығысу теоремасы

Егер



Мұндағы λ-кез-келген комплекс сан. Шынында да, негізгі формула бойынша:

Бейнені дифференциалдау



Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда 

Дәлелдеу,

Лаплас интегралын р параметрі бойынша дифференциалдайық:


Теореманы біртіндеп дифференциалдау амалына қолданып, жалпы түрдегі формуланы аламыз:



Бейнені интегралдау


Егер -түпнұсқа болса, онда



сәйкестігі орындалады.

Дәлелдеу ,
белгілеуін еңгізіп формуласына бейнені дифференциалдау туралы теореманы қолданамыз. Сонда



Бірақ болғандықтан, теңдігі алынады.

Осы арақатынасын р-дан В-ға дейін интегралдап мынаны аламыз:



Ал Ф(р) түпнұсқаның бейнесі болғандықтан орындалады.

Сондықтан ,



бейнесі алынады.

Бейнелерді көбейту


Егер және түпнұсқалар болса, онда



немесе

Орамның Лаплас түрлендіруін қарастырайық:



Бұл интегралды екі еселі интеграл деп қарастырайық.
τ


τ=t








0 t

2.3 Сурет

Интегралдау ретін ауыстырып, мынадай өрнек аламыз:


Екінші интегралда ауыстыруын қолданып мынадай теңдік аламыз:

Дюамель формуласы


(Дюамель (1797-1872)-француз математигі).

Егер және -түпнұсқалар және болса, онда мына теңдік орындалады:


Бұл Дюамель формуласы деп аталады.

Дәлелдеу

 көбейтіндісін мына түрде жазайық:





Бұл теңдіктің оң жағындағы екінші қосылғыш және түпнұсқаларының бейнелерінің көбейтіндісін береді. Олай болса, осы теңдікке бейнелерді көбейту теоремасын қолданайық:

2.1 Меллин формуласы

Берілген бейнесінен оған сәйкес түпнұсқасына көшу үшін Лапластың кері түрлендіруі орындалады.

Теорема 1.3



Түпнұсқа үздіксіздік нүктелерінде



теңдігімен анықталады.

Мұндағы функциясы түпнұсқасының Лаплас бойынша бейнесі.  теңдіктің оң жағындағы интеграл бас мәні ұғымында анықталады. Басқаша айтқанда



арақатынасы орындалады да, интеграл жарты жазықтығында жатқан және жорымал оське параллель түзу бойынша алынады.

 формула Меллиннің кері айналдыру формуласы деп аталады. Ол бейнесі мен түпнұсқасын байланыстырады.



Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу Лапластың кері түрлендіруі болып табылады. Оны былай белгілейді:



Мұндағы шарты болғанда функцияның шартын қанағаттандыратынын көрсетеді.

(14) формула бейнені тек үздіксіздік нүктелерінде ғана анықтайды. Бірақта түпнұсқаның бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін.

Бұл жағдайда түпнұсқаның үзіліс нүктелерінде



шарты орындалатындығын көрсетуге болады.

Сонымен, айналдыру формуласы бейнесі бойынша түпнұсқасы оның үзіліс нүктелеріндегі мәндеріне дейінгі дәлдікпен анықталады. Түпнұсқаға (1.1) формула бойынша анықталған бір ғана бейне сәйкес келеді. Өйткені түпнұсқаның үзіліс нүктелеріндегі мәндері бейненің түрін өзгертпейді. Дегенмен де бір бейнеге бір-бірінен айырмашылығы үзіліс нүктелеріндегі мәндерінде болатын түпнұсқалар жиынын сәйкес қоюға болады.

Егер түпнұсқасы аралығында дифференциалданатын функция болса, онда берілген бейне бойынша бір ғана түпнұсқа анықталады.

ҚОРЫТЫНДЫ

Бұл курстық жұмыс Лаплас түрлендіруін зерттеуге бағытталды. Курстық жұмыс екі тараудан тұрады. Олар Лаплас түрлендіруі, Лаплас түрлендіруінің қасиеттері.

Лаплас түрлендіруі Фурье түрлендіруімен ұқсас екендігі көрсетілген. Яғни, Лаплас түрлендіруі тура және кері болып табылады. Кері Лаплас түрлендіруі келесі өрнекпен сипатталанады:



. (1.4)

Егер біз жиілікке немесе фазаға тәуелді сигнал қасиеттерін зерттесек, онда Фурье түрлендіруін пайдалануға ыңғайлы болады. Оны ықтималдық теориясының белгілі бір бөліктерінде және Фурье немесе Фурье-Бессель қатарлар сияқты шекаралық шарттарымен сызықтық дифференциалды теңдеулерді шешкенде кең пайдаланады. Лаплас түрлендіруін пайдалануға ыңғайлы болады, егер түрлендірулердің аналитикалық қасиеттері зерттелінсе немесе алғашқы шарттары белгілі тұрақты коэффициенттерімен сызықтық дифференциалды теңдеулерді шешкенде.

Физикалық түсіндіруден басқа Лаплас түрлендіруінің келесі түсініктемесін қосайық. Қалайша фотокамера оригиналдан кескінді алуға мүмкіндік береді, солайша Лаплас түрлендіруі функция-оригиналдың функция-кескінін анықтайды. Сонымен, Лаплас түрлендіруінің нақты мағынасы функцияны оригинал кеңістігінен кескін кеңістігіне ауыстыруда болып табылады және оригинал кеңістігімен салыстырғанда кескін кеңістігіндегі математикалық түрлендірулер бір неше қарапайым және көрнекті.

Курстық жұмыс студенттерге және математикаға қызығушылық танытқандарға таптырмас ақпарат көзі болып табылады.

Лаплас түрлендіруі математиканың (операциялық есептеулер), физиканың және техниканың көптеген салаларында кеңінен қолданылады:


  • Дифференциалдық және интегралдық теңдеулер жүйесін шешу – Лаплас түрлендіруін қолдана отырып, математикалық талдаудың күрделі ұғымдарынан қарапайым алгебралық қатынастарға оңай ауысады.

  • Аналогтық сүзгілер сияқты динамикалық жүйелердің тасымалдау функцияларын есептеу тиімді болып келеді..

  • Басқару теориясында және сигналды өңдеуде динамикалық жүйелердің шығыс сигналдарын есептеу – сызықты стационарлық жүйенің шығыс сигналы оның кіріс сигналымен импульстік реакциясының конвульсиясына тең болғандықтан, Лаплас түрлендіруі бұл операцияны қарапайым сигналмен ауыстыруға мүмкіндік береді. көбейту.

  • Электрлік тізбектерді есептеу. Тізбекті сипаттайтын дифференциалдық теңдеулерді операторлық әдіс арқылы шешу арқылы жүзеге асырылады.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР



  1. З.Н. Сыздыкoвa, A. Ибaтoв Мaтeмaтикaлық физикa тeңдeулeрі.-A.: Aльмaнax, 2017,-394б.

  2. Т. Бижігітов. Математикалық физика әдістері. ҚР Білім және ғылым министрлігі - Алматы: Дәуір, 2012.

  3. Г. Б. Баканов, М. А. Сұлтанов. Математикалық физика теңдеулерін сандық шешудің айырымдық әдістері. Шымкент  қаласы «Кітап». 2012

  4. Орынбасаров М., Сахаев Ш. Математикалық. физика теңдеулерінің есептері мен жаттығулар жинағы: Оқу кұралы. - Алматы: Қазақ университеті 2003.




  1. .Владимиров В. С.,Жаринов В. В. Уравнение математической физики. – М.: Физматлит, 2008.

  2. Захаров Е. В., Дмитриева И. В., Орлик С. И. Уравнение математической физики. – М.:Изд-во Академия, 2010.

  3. Ильин А. М. Уравнение математической физики. М.: Физматлит, 2009.

  4. Гарабин Г. Методы математической физики. –М.: Ассоциации строительных вузов, 2009.

  5. Колоколов И. В., Кузнецов Е. А. Задачи по математической методы физики. Минск: Изд-во Либроком, 2009.

  6. М.Е. Боговский Уравнения математической физики. Учебное пособие. Москва: МФТИ, 2019

  7. https://stud.kz/referat/show/35563

  8. https://stud.kz/referat/show/35563





Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©melimde.com 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
Сабақтың тақырыбы
бойынша жиынтық
жиынтық бағалау
Сабақ тақырыбы
Сабақтың мақсаты
ғылым министрлігі
тоқсан бойынша
рсетілетін қызмет
бағалауға арналған
Сабақ жоспары
Жалпы ережелер
Қазақстан республикасы
қызмет стандарты
бекіту туралы
жиынтық бағалауға
жиынтық бағалаудың
республикасы білім
тоқсанға арналған
бағалау тапсырмалары
Қазақстан республикасының
арналған тапсырмалар
Реферат тақырыбы
білім беретін
арналған жиынтық
бағдарламасына сәйкес
Әдістемелік кешені
болып табылады
мерзімді жоспар
бағалаудың тапсырмалары
туралы хабарландыру
Қазақстан тарихы
сәйкес оқыту
пәнінен тоқсанға
арналған әдістемелік
республикасының білім
Қазақ әдебиеті
оқыту мақсаттары
Мектепке дейінгі
нтізбелік тақырыптық
қазақ тілінде
Жұмыс бағдарламасы
жалпы білім
оқыту әдістемесі
білім берудің
Республикасы білім
әдістемелік ұсыныстар
Инклюзивті білім
пәнінен тоқсан
туралы анықтама
тақырыптық жоспар
Қысқа мерзімді