СОӨЖ №1 Квантмеханикалық суперпозиция принципі

Loading...


Дата06.03.2017
өлшемі197.29 Kb.
СОӨЖ № 1

Квантмеханикалық суперпозиция принципі

Классикалық физикада суперпозиция принципі жиі қарастырылады. Бұл принцип кванттық механикада да өте үлкен рөль атқарады, оның екі анықтамасы бар.



  1. Егер жүйе және -мен сипатталатын күйлерде орналаса алса, онда ол осы екі функциялардың сызықтық комбинациясынан түзілген функциямен сипатталатын күйде де орналаса алады.

�� (1)

мұндағы және -кез келген комплекс сандар, олар күйлердің амплитудаларын анықтайды.



  1. Егер толқындық функцияны кез келген нөлден өзгеше комплекс санға көбейтсек, онда жаңа толқындық функция жүйенің бастапқы күйіне сәйкес келеді.

Квантмеханикалық суперпозиция принципінің классикалық суперпозициядан өзгешелігі бар. Классикалық суперпозиция бойынша, екі толқынның суперпозициясы жаңа толқынды тудырады. Кванттық суперпозиция бойынша жаңа толқынмен сипатталатын күй пайда болмайды. Классикалық теория бойынша, тербеліс амплитудалары нөлге тең тыныштық күйі болады. Кванттық теория бойынша, егер толқындық функция нөлге тең болса, онда кеңістіктің барлық нүктелерінде күйлер болмайды. Классикалық толқынның амплитудасы тікелей бақыланатын шама, ал �� функция тікелей бақыланбайды.

Квантмеханикалық суперпозиция принципінің орындалуы үшін қарастыратын теңдеулер сызықтық теңдеулер болуы керек. Егер күрделі күй бар болса, онда (1) өрнек былай жазылады:

��

мұндағы -комплекс амплитудалар.

Мысал ретінде кез келген толқындық өріс ��(х, у, z, t) – ді дебройльдік толқындардың суперпозициясы түрінде көрсетуге болады.



СОӨЖ № 2

Координата, энергия, импульс және импульс моменті операторлары. Гамильтониан. Операторлардың коммутаторлары

Кванттық механиканы әрі қарай қарастыру үшін, негізгі физикалық шамалардың операторларын білу қажет.Бұл жағдайда оперлаторларды бақыланатындар ретінде қарастырамыз.Классикалық механикада жүйенің күйі қозғалыс теңдеулеріне кіретін координаталар және импульстер жинағымен сипатталады. Олар механикалық шамалар деп аталынады.Осындай рөлді кванттық механикада атқаратын шамаларды квантмеханикалық шамалар деп аталынады. Көп жағдайда оларды физикалық шамалар немесе динамикалық айнымалылар деп атайды.

Физикалық шамалардың операторларын табу үшін 1923 жылы Бор ұсынған сәйкестік принципін пайдаланамыз.Ол принципті еске түсірейік: кез келген классикалық емес тоерия белгілі бір шекте ескі классикалық теорияға ауысады.Сонымен,классикалық механикадағы белгілі динамикалық қатнастарды кванттық механикаға ауыстыруға болады, егер осы қатыстарды физикалық шамалардың орнына оларға сай өзіне түйіндес операторларды пайдалансақ.Мысалы ретінде классикалық механикадағы толық энергияны қарастырайық:

+U =+U, (1)

мұндағы -кинетикалық знергия, U-потенциалдық энергия. Кванттық механикада толық энергияға сай келетін толық энергия операторы кинетикалық энергия және потенциалдық энергия операторларымен мынадай қатыста болады:



=+U=+U= -U (2)

мұндағы – гамильтон операторы немесе гамильтониан,-импульс операторы және =Δ=++-Лаплас операторы немесе лапласиан деп аталынады.

Негізгі операторлар ретінде координата және импульс операторларын алайық.Ол үшін операторларды координаталық көріністе қарастырамыз. Егер Ψ функциясы модулінің квадраты жәнеd аралықта бөлшектің табу ықтималдығын берсе, онда толқындық функция және оператор координаталық көріністе берілді дейді. Координаталық көріністе координата операторы сан болады, яғни көбейту операторы болады:

Ψ ( Ψ ( Ψ ( =xΨ(, Ψ(y)=yΨ(y), Ψ (zΨ(z). (3)

(1) және (2) қатыстарды салыстыра отырып, импульс операторларын табуға болады.



===-=-. (4)

Осыдан:



= , , = ,

немесe


= ± iħ , = ± iħ , = ± iħ ,

Қай таңбаны таңдау алу мәселесіне келсек, дәстүр бойынша теріс таңбаны қалдыру керек. Сонымен:



=-іħ =- iħ , =- іħ =- iħ , =- іħ =- iħ , (5)

Немесе векторлық түрде



=-іħ (6)

мұндағы =+ +

(набла) – операторы деп аталады.

, , – бірлік векторлар.

Потенциалдық энергияның операторы – көбейту операторы болып табылады, себебі, оның аргументі координата- көбейту операторлары:



U( (7)

Классикалық механикада импульс моменті мына түрде беріледі:



=. (8)

Кванттық механикада оған сай келетін импульс моменті операторы



==(y )+ (zx)+y).

Импульс моменті операторының координаталар өсіне проекцияларын мына түрде жазамыз:



= y =-iħ(y-z ),

= z =-iħ(z-x ), (9)

= x =-iħ(x-y ),

Бұл өрнектерді пайдалана отырып, импульс моменті квадратының операторын табуға болады



=++ . (10)

(2) өрнекте берілген – гамильтонианды жалпы жағдайда, яғни консерватив емес өріске арнап жазайық:



=+U (x,y,z,t) (11)

Мұндағы U-күштік функция.

Классикалық физикада кез келген электрмагниттік өріске арналған Гамильтон функциясы мен мына түрде жазылады.

H= +eФ,

мұнда жалпыланған импульс векторы, -векторлық потенциал, Ф-скалярлық потенциал, е-заряд, m-масса. Гамильтон функциясына кванттық механикада гамильтониан сай келеді.

= +eФ+U (12)

Кванттық механикада үлкен рөл атқаратын операторлардың коммутаторларын, яғни орын алмастырымды қатыстарын қарастырайық.



=-=?

Бұл коммутаторды табу үшін, операторларды көбейту ережесін пайдаланамыз.

Сонымен

= iħ,

осы сияқты



= іħ,

=i (13)

(13) қатыстардан мына қорытынды жасауға болады: х және , у және , z және коммутациялаушы емес операторлар болып табылады. Операторларды көбейту ережесін пайдалана отырып,керекті коммутаторларды табуға болады.



=0; =0; =0

=0; =0; =0;

=0;=0; ;

СОӨЖ № 3

Шредингер теңдеуі . Тұрақты күйлердің қасиеттері.

Шредингер теңдеуін себептілік принципінің көмегімен формальды түрде алуға болады . Себептілік принципі бойынша бастапқы уақыттағы толқындық функция кейіңгі уақытттағы толқындық функциямен байланысты болады. Осы байланысты қалай табуға болады? Оны табу үшін Ψ функцияны уақыт мезетінде қарастырайық , яғни Ψ-ді қатарға жіктейміз:



Себептілік принципі бойынша - функциядан анықтау керек :



мұндағы - ны алу үшін -ге қатысты жасалатын амал . Біздің жағдайда кез келген түрде алынған сондықтан



мұндағы - уақыт бойынша ығысу операторы.

Кванттық механикадағы анықтама бойынша, оператор – бір толқындық функцияны басқа толқындық функцияға ауыстыратын кез келген математикалық символ. Сондықтан теңдеудегі

оператор постулат түрінде қабылдану керек. Суперпозиция принципі бойынша сызықтық түрде болу керек. Бұл операторда уақыт бойынша алынған туындылар мен интегралдар болмау керек, ал тек параметр ретінде болу керек. Егер керісінше жорамалдасақ, онда функция жүйе күйін сипаттайды деген кванттық механиканың негізгі қағидасы бұзылады. теңдеудің көмегімен бастапқы функция арқылы функциясын табуға болады, осыған сәйкес уақыттағы әр түрлі өлшеулер нәтижелерінің ықтималдығын болжауға болады.

теңдеудегі оператордың түрін анықтау керек . Оны табу үшін белгілі бір импульске ие болатын еркін қозғалысты қарастыру қажет. Бұл қозғалыстың толқындық функциясы де Бройль толқыны болады:

мұндағы - толқын ампулитудасы. Осы толқындық функциядан және туындыларды табайық:



.

Бұл есептеуде еркін бөлшектерге арналған



қатысын пайдаландық. Жоғарыдағы екі қатыстан функцияның мына теңдеуді қанағаттандыратынын байқаймыз:



Бұл теңдеуді мына түрде қайта жазуға болады



Мұнда оператор еркін қозғалыстағы бөлшектің гамильтонианы (Гамильтон операторы):



Сонымен және теңдеулерді салыстыра отырып, еркін қозғалысқа арналған уақыт бойынша ығысу операторын табамыз :



Кванттық механикада бұл нәтижені жалпы түрде жазуға болады, ол үшін амыз ығысу операторын Гамильтон функциясының операторы ретінде қарастыру керек



,

мұндағы �� – бөлшектің потенциялдық энергиясы. Сонымен постулатқа сәйкес теңдеуі мына түрде жазуға болады:



Шредингер теңдеуінің бірнеше түрлері болады . Егер өрнектегі потенциялдық энергия ��=0 болса, онда еркін қозғалыс болады. Егер болса ,онда тұрақты күй болады. Егер болса, онда тұрақты күй болады. Егер болса, онда бұл айнымалы өрістегі қозғалыс теңдеумен қарастырылады. Егер потенциялдық энергия – радиус – вектордың модуліне тәуелді болса , яғни ��=��(��), онда біз центрлі – симметриялы өрістегі есепті аламыз, мұндағы

Сыртқы айнымалы өріс болмаған жағдайда, гамильтониан уақытқа тәуелді болмайды, яғни , ал ��=��() . Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі мына түрде болады:

=)Ψ(

Бұл теңдеуде айнымалыларды бөлу әдісін пайдалануға болады.





теңдеуге қояйық :

Бұл теңдеуді басқаша жазайық



=

теңдеуде екі тәуелсіз теңдеулерге бөлінеді

=��Ψ

��ћ

(11) теңдеуді Шредингердің тұрақты күйлеріне арналған теңдеуі деп аталады

СОӨЖ № 4

Терендігі шектелген потенциалдық шұңқырдағы бөлшек

Мұндай потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің стационар Шредингер теңдеуі былай жазылады.



+ Ψ=0 (1)

(2)

Потенциалдық энергия және Гамильтон операторы инверсия түрленуге қатысты инвариантты болады (x→–x), сондықтан барлық стационарлық күйлер оң жұптылық және теріс жұптылық күйлерге жатады. Сондықтан толқындық функцияны және энергия мәндерін х≥0 облыста ғана табуға жеткілікті болады.



d:\0.jpg

Жұптылығы теріс болатын күйлердегі толқындық функциялары х=0 тең нүктеде нөльге ауысу керек, ал оң жұптылық күйлерде х=0 нүктеде =0.

Потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы Е≥0 және Е<, мынадай белгілеулер енгізейік.

= және = (-E)

Сонда


=0, егер 0≤ x (ішінде ) (3)

0, егер х (сыртында) (4)

х→∞ шектелген шешімдері былай жазуға болады.



(5)

Ал шұнқыр ішінде



=Bcos κx, =Csin κx (6)

Алдымен оң, жұптылық шешімдерін (+) қарастырайық. х= нүктедегі Ψ және үзіліссіз болу шартыннан А және В анықтауға қажетті екі теңдеу шығады.



В cos= A; В sin =A

Бұл жүйенің нөльге тең емес шешемі



κtg = γ= (7)

шарт орындалғанда ғана болады. tg периоды π тең периодтық функция болғандықтан, (7) теңдеуді мына түрге әкелуге болады.



κl=nπ–2arc sin (8)

мұндағы n=1,3,5…, ал arc sin мәндері 0, интервалында болады.

(8) теңдеу κ толқындық санының оң мәндерін анықтайды. Arc sin аргументі ≤1 болғандықтан, κ мәндері 0≤κ интервалында жатады және дискретті болады. Осыдан потенциалдық шұнқырдағы бөлшектің энергияны табуға болады.

Жұптылығы теріс болатын күйлер үшін х= нүктедегі және үзіліссіз болу шарттары мына теңдеулер жүйесіне әкеледі.



C sin =A , C cos = – A

Осыдан


κctg = –γ

Котангенстің периодтық қасиеттерін ескере отырып, потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергияларының мәнін табуға болады.



= .

СОӨЖ 5

Бөлшектердің ақырлы енді потенциалдық тосқауылдан өтуі

Бірөлшемді тікбұрышты потенциалдық тосқауылды қарастырайық:


Сур. 1

Энергиясы тосқауылдың биіктігінен кіші (E0) бөлшектер І аймақта солдан оңға қарай қозғалсын. Бұрынғы параграфтағы нәтижелерді пайдалана отырып ,1-суреттегі кескінделген үш аймақтағы Шредингер теңдеулерін және толқындық функцияларды жазайық:

Ψ1"+k2ψ1=0, ψ11еikx + А2 , (1)

Ψп"– ǽ2ψп=0, ψп1еǽx + В2, (2)

Ψш"+k2ψш=0, ψш1еikx + С2 . (3)

Алдыңғы параграфтағы белгілеулер өзгеріссіз қалады, ІІІ аймақта бөлшектер х өсі бойымен оң бағытта қозғалады (=0) және А1=1. Аймақтар шекараларындағы толқындық функцияның және оның туындысының үзіліссіздік шартын жазайық:



ψ1(0)= ψп(0), ψп(а)= ψш(а),

ψ"1(0)=ψ'п (0), ψ"п(0)=ψ'ш (0),

Бұл қатыстарға (1) – (3)өрнектерді ауыстыра отырып, А2, В 1, В2 және С1 коэффициенттерге қатысты теңдеулер жүйесін аламыз



1+ А2= В 1+ В 2 , В1 + В2 = С1еikа ,

ik(1- А2 )= (В1- В2) , (В1 -В2 )=ik С1еikа , (4)

(4) жүйедегі біз назар аударатын коэффициент С1 болады, оған тосқауылдан өту коэффициентін есептеу арқылы көз жеткізуге болады. Ол үшін ықтималдық ағыны тығыздығының және шағылу мен өту коэффициентерінің өрнектерін пайдаланып және



Ψтусikx , ψот1еikx

екенін ескере отырып,мына өрнекті аламыз:



D=2 (5)

Көп жағдайда D коэффициентін мөлдірлік коэффициенті деп атайды. (4) жүйе төрт белгісіз коэффициенттерге қатысты төрт сызықтық теңдеулерден тұрады,оны шеше отыра С1 коэффициентті табамыз

С1= (6)

(6) өрнек есептеуге ыңғайсыздау, сондықтан квадрат жақшаның ішіндегі экспоненталарды гиперболалық синустар мен косинустар арқылы жазып,

shx= (ex –e-x ) , chx= (ex +e-x ) , ch2x-sh2x=1 ,

мөлдірлік коэффициентін мына түрде аламыз



D =. (7)

Дербес жағдайда, егер а>>1, онда sh a ≈ , осыған орай (7) ықшамдалады



D=.

Мұндағы D коэффициенті экспоненттік көбейткішпен анықталады, сондықтан оның алдындағы көбейткішті D0 арқылы белгілеп, мөлдірлік коэффициентін біржолата аламыз:



D=D0 . (8)

Тосқауылдың биіктігі мен ені неғұрлым үлкен болып және неғұрлым бөлшек ауырлау болса, потенциалдық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті соғұрлым кіші болады. Егер экспонента көрсеткіші



≈1

Болса, туннелдік эффект айқынырақ білінеді. Бұл шарт тек микроскопиялық құбылыстар аймағында орындалады. Мысалы ретінде,ядролық масштабтың шамаларын пайдалансақ а≈10-15 м (ядроның өлшемі), m≈10-27кг (нуклонның массасы),U0-E≈10Мэв,онда D≈e-1 . Сонымен,тосқауылдың биіктігі бөлшектер энергиясынан 5-10Мэв-тан асса,олар елеулі ықтималдықпен тосқауылдан өтеді. Енді осы мысалды қайталап, тек қарастыратын масштабтың өлшемін а≈10-2м-ге ауыстырсақ, онда D≈10-13.

Жасайтын қорытынды: макроскопиялық құбылыстар аймағында туннелдік эффект болмайды.

Енді бөлшектердің кез келген пішіндегі потенциалдық тосқауылдан өтуін қарастырайық. Онда 1-суретіміз мына түрде көрсетіледі.



Сур. 2


2-суретке арналып, (8) формуласы басқа түрнде жазылады

D=D0

Туннелдік эффектіге орта мектептің физика курсынан көрнекі мысал келтіруге болады. Алюминийдің ядроларын а-бөлшектермен атқыласа, фосфор изотопы пайда болып, онымен қоса нейтрондар шығарылады

++

Фосфор изотопы орнықсыз болып, одан позитрондар ыдырайды:



Бұл түрлендірулерді классикалық теория түсіндіре алмайды, себебі Кулон заңы бойынша алюминий ядросы мен а-бөлшек аттас зарядтар болғандықтан,олар бірін-бірі тебеді. Сондықтан жоғарыдағы түрленулер болмауы керек. Туннелдік эффект бойынша, а-бөлшектің толқындық қасиеттері бар, сондықтан ол алюминий ядросының (потенциалдық тосқауыл) ішіне енеді. Нәтижесінде екі ядро қосылып,жаңа ядро түзіледі.



СОӨЖ № 6

Бір валентті сілтілік элеметтер спектірі

Оптикалық электронды «атомдық қалдықтың» центрлі – симетриялық өрісінде қозғалады деп есептеуге болады. Бұл центрлі - симетриялық өрістің потенциялын V(r) десек, ал оптикалығқ электронның потенциялдық энергиясын U(r) деп белгілейміз сонда.

U(r) =-eV(r) (1)

Сонымен «атомдық қалдықтың» центрлік-симетриялы қ өрісін белгілі бір нүктелік зарядқа ие болатын сілтілі металдар атомдарының орнықты «қанқасы» немесе «эффектив ядросы» тудырады деп қарастыруға болады. Ішкі z-1 электрондар тудыратын электр зарядының орташа тығыздығы ρ(r) болсын,сонда радтусы r сферасының ішінде орналасқан толық электрондық заряд мынаған тең болады.



(2)

Қанқаның құрамындағы ядроның зарядын +еZ деп белгілесек, ондасферамыздың толық заряды мына түрде анықталады.



, (3)

Мұндағы - қашықтықтағы ядроның эфектив номері. Гаусс теоремасын пайдалана отырып , өрісті табуға болады.



(4)

Ал V(r) потенциял мынаған тең



(5)

(3) өрнекке толығырақ тоқталайық. Бұл өрнек бойынша, электрондық қабықшаның әрекеті ядроның өрісін қалақлауға апарады. Қалқалау қашықтыққа тәуелді ,ядроның маңында оның өрісі қалқаланбайды. Шынында, r нөлге ұмтылған жағдайда (r)



Бұл өріс



Ал потенциал



Егер электрондық қабықшаның радиусы ) аймақты қарастырсақ



Мұнда N - қабықшадағы электрондардың толық саны. Сонымен бұл аймақта



Ал потенциял



Бұл потнециял, қабықшадағы электрондар зарядына азайтқандағы ядро зарядының потенциялына сәйкес келеді.

Кей жағдайда Z*(r) – эффектив нөмірдің r қашықтыққа тәуеолілігін есепке алмайды, яғни

Z*= Z- () , =const.

Жоғарғыда потенциялдарды пайдалана отырып, Шредингердің радиалдық теңдеуінің шешімдерін табуға болады. Олар сандық интегралдау арқылы табылады. Осыған сійкес тек табылған нітижелерге тоқталайық.

Сутегі атомның энергетикалық спектрін қарастырғанда, энергия Е-нің тек бас кванттық сан n-ге тәуелді екенін анықтағанбыз. Ал біздің жағдайда энергия Е сонымен қатар, k радикалық кванттық санғада тәуелді болады.Жалпы түрде қарастырсақ, алдынғы тақырып бойынша , сондықтан Е энергиясы l орбиталық кванттық санғада тәуелді болады, n=k+l+1 болғандықтан , Е өзіндік мәндері n және l кванттық сандарға тәуелді болады. Осы айтылғандарға байланысты өзіндік функциялар мен өзіндік мәндер мына түрде белгілеуге болады







E= ,



Өзіміз қарастырған кулондық өрісте Е=, сондықтан k және L кванттық сандар n=k+l+1, қосындыға кіреді. Ал, сілтілі металдар аттомдағы оптыкалық электрон моделі бойынша E=

Алдыңғы тақырыпта айтқандай, кулондық өрісте l орбиталық кванттық саны бойынша тоғысу болады, яғни n бас кванттық сан берілгенде энергия l-ге тең болмайды, , ал U=U(r) центірлі өрісті жалпы жағдайда қарастырсақ, бұл l саны бойынша тоғысу болмайды E=
Каталог: ebook -> umm
umm -> Тарау Пән бойынша глоссарий Тарау Лекциялардың қысқаша конспектісі Тарау соөЖ бойынша әдістемелік нұсқаулар Тарау СӨЖ бойынша әдістемелік нұсқаулар Тарау Бақылау – тексеру құралдары. Тарау Пән бойынша глоссарий
umm -> «Қазақ тілінің стилистикасы» ОҚу- әдістемелік кешені оқУ-Әдістемелік материалдар семей 2015 Мазмұны
umm -> Әбікенова Гүлнат Төкенқызы Когнитивті лингвистика
umm -> Глоссарий
umm -> Үш әулетті отбасы: ата-ана, бала, немере; Үш әулетті отбасы: ата-ана, бала, немере
umm -> ПОӘК 042-18 35/03-2015 №1 баспа 11. 06. 2015ж
umm -> «Ежелгі дәуір әдебиеті» пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар 2013 жылғы №3 басылым 5В011700 «Қазақ тілі мен әдебиеті», 5В012100- Қазақ тілінде
umm -> 1 Менеджмент туралы түсінік Менеджмент ағылшын сөзі, оның түпкі түбірі гректің «Манус» сөзінен шығып
umm -> Мемлекеттік басқару проблемаларын жете түсіну үшін қазіргі менеджмент теориясының кейбір жайларын білу аса тиімді және қажет


Достарыңызбен бөлісу:
Loading...


©melimde.com 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет

Loading...