Сборник задач по алгебре Часть Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства в помощь учащимся 10-11-х классов

Loading...


Pdf көрінісі
бет7/20
Дата28.03.2020
өлшемі1.31 Mb.
түріСборник задач
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   20

22.  Решить  квадратные  уравнения,  используя  обратную  теорему 
Виета, но не вычисляя дискриминант. 
1) х
2
 – 10х – 39 = 0; 
2) х
2
 + 15х – 34 = 0; 
3) х
2
 – 16х + 55 = 0; 
4) х
2
 – 16х + 48 = 0; 
5) х
2
 + 2008х – 2009 = 0; 
6) 215х
2
 – 214х – 1 = 0; 
7) х
2
 – 19х + 88 = 0; 
8) 18х
2
 – 3х – 3 = 0. 
 
23. Решить уравнения и проверить выполнение теоремы Виета. 
1) 3х
2
 – 4х – 4 = 0; 
2) х
2
 – 2х – 9 = 0; 
3) 2z
2
 + 7z + 6 = 0; 
4) 2m
2
 + 9m + 8 = 0. 
 
24. Не решая уравнения, но убедившись, что действительные кор-
ни х
1
 и х
2
 существуют, определить их знаки. 

 
47 
1) х
2
 + 5х – 2 = 0; 
2) х
2
 – 5х + 2 = 0; 
3) 3х
2
 + 16х + 17 = 0; 
4) – 19х
2
 + 23х – 5 = 0; 
5) 3х
2
 –
5
2
х + 9 = 0; 
6) 10х
2
 – 9х + 5 –
6
2
 = 0. 
7) 6y
2
 – 17 = 0; 
8) 2x
2
 – 28 – 0; 
9) 2z
2
 – 9z – 10 = 0; 
10) 
0
7
2
1
2




х
х

11) a
2
 – 9a + 20 = 0; 
12) 2a
2
 – 9a + 20 = 0; 
13) x
2
 + 2x – 80 = 0; 
14) –x
2
 + 2x – 80. 
 
– В – 
 
25.  По  известному  корню  квадратного  уравнения  найти  его  дру-
гой корень и неизвестный коэффициент (сра или b): 
1) один корень уравнения 3х
2
 – 9х + с = 0 равен 5;  
2) один корень уравнения х
2
 + рх + 45 = 0 равен 15;  
3) один корень уравнения 3х
2
 – рх – 35 = 0 равен 5;  
4) один корень уравнения –х
2
 + х + а = 0 равен 3. 
 
26. Найти корни уравнения и неизвестный коэффициент (сqb): 
1)  х
2
 – 13х + q = 0, если разность его корней равна 1; 
2) х
2
 – х – с = 0, если разность его корней равна 5; 
3) 3х
2
 – 9х + с = 0, если один из его корней на 2 больше другого. 
27.  При  каких  значениях  b    ℝ  уравнение  х
2
  +  (b  +  2)х  –  3  =  0  
имеет два корня, один из которых на 4 больше другого? 
 
28. Не решая уравнения: а) 3х
2
 – х – 8 = 0; б) 3х + 1 = 2х
2
,  но убе-
дившись,  что  действительныекорни  х
1
  и  х
2
  существуют,  найти  ве-
личины: 
1) 
2
1
1
1
x
x


2) 
2
2
2
1
x


3) 
2
2
1
)
(
x


4) 
1
2
2
1
x
x
x
x


5) 
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x


6) 
3
2
3
1
x


29. Составьте квадратное уравнение с корнями:  
1) 
1
1
x
и 
2
1
x
;  
2) 
2
2
2
1
  
и
  
x
x
;  
3) 
2
1
1
х
 и 
2
2
1
х
,  
если х
1
 и х
2
  являются корнями уравнения: 
а) 3х
2
 – х – 8 = 0;                б) 3х + 1 = 2х
2


 
 
48
30. Не решая уравнения:   a) 2х
2
 – 7х – 1 = 0;    б) 1 – 5х =  х
2
,  но 
убедившись,  что  действительные  корни  х
1
  и  х
2
  существуют,  найти 
величины: 
   1) 
2
1
1
х
 + 
2
2
1
х

2) 
2
2
2
1
2
1
3
2
3
1
2
1
2
1
х
x
х
x
x
x






 
31. Могут ли два ненулевых корня х
2
 + х – а
2
 – 2а = 0 иметь один 
и тот же знак? 
 
32. Разность  квадратных корней уравнения 2х
2
 + 7х + с = 0 равна 
1,75. Найдите корни уравнения и число с
 
33.  Определить,  при  каком  значении  параметра  а    ℝ  один  из 
корней уравнения равен нулю. 
1) х
2
 – 2х + 16а = 0; 
2) 19х
2
 + 2ах – 17 = 0; 
3) 13х
2
 – 49х + а
2
 – 4 = 0. 
 
34.  Определить,  при  каком  значении  параметра  а    ℝ  один  из 
корней уравнения равен 1. 
1) 15х
2
 – х + 14а
2
 = 0; 
2) 19х
2
 + 2ах – 17 = 0; 
3) 36х
2
 – 45х + 5а
2
 – 16 = 0. 
 
35.  Для  каждого  значения  а    ℝ  найти  число  действительных 
решений уравнений. 
1) ax
2
 + 2x – 2 = 0; 
2) ax
2
 + 2x – 3 = 0; 
3) ax
2
 – 5x + 15 = 0. 
 
36. Определить, при каких значениях параметра а  ℝ уравнение 
имеет ровно одно решение. 
1) ax
2
 – 4x + 3а + 1 = 0; 
2) ax
2
 + 8x + а + 15 = 0; 
3) ax
2
 – 6x + 2а + 7 = 0; 
4) x
2
 – 2аx + а
2
 = 0. 
 
37. Определить, при каких значениях параметра а  ℝ уравнение  
(а + 1)х
2
 + 2ах + 2 = 0 имеет два различных действительных корня. 
 
38. Определить, при каких значениях параметра а  ℝ уравнение  
(2х – 1)(х + 1) = а  не имеет действительных корней. 
 
39. Определить, при каких значениях параметра а  ℝ уравнение: 
(2 – а)х
2
 – 2(а + 1)х + 4 = 0 имеет единственное решение. 

 
49 
40. Определить, при каких значениях параметра а  ℝ сумма дей-
ствительных корней уравнения  х
2
 + (2 – а – а
2
)х = 0 равна нулю? 
 
– С – 
 
41. Не решая уравнения: а) х
2
 = 6х – 1, б) 2х
2
 = рх + 2, но убедив-
шись,  что  действительные  корни  х
1
  и  х
2
  существуют,  составить 
квадратные уравнения с корнями: 
1) t
1
 = x
1
x
2
  и  t
2
 = x

x
2

2) 
3
1
1
x

 и  
3
2
2
x


3) t
1
 = (x

x
2
)
2
  и t
2
 = (x

– x
2
)
2

4) 
1
2
1
1
2
x
x
t


 и 
2
2
2
2
2
x
x
t



5) 
2
2
1
1
x
x

  и  
2
1
2
2
x
x


6) 
2
1
1
x
x

 и  
1
2
2
x
x


7) 
2
1
1
2
2
x
x
t


 и  
1
2
2
2
2
x
x
t



 
 
42. Действительные корни уравнения х
2
 + 2ах + b = 0 равны х
1
 и 
х
2
. Составьте приведенное квадратное  уравнение,  корнями которо-
го являются числа: 
1) х
1
х
2
  и  х
1
 + х
2

2) 
2
1
х
и 
2
2
х

3) –х
1
 и  –х
2

4) 
1
1
1
x

 и 
2
2
1
x


5) 
3
2
1
x
x
 и  
3
1
2
x
x

6) 
2
1
x
х
 и 
1
2
x
х

7) 2х
1
 + 3х
2
 и 3х
1
 + 2х
2
;  8) 
2
2
1
x
x
 и  
1
2
2
x
x

9) 
3
1
x
 и  
3
2
x

10) 
4
1
x
 и  
4
2
x

 
43. Может ли дискриминант квадратного уравнения ах
2
bx + c = 0 
с целыми  коэффициентами аbс равняться 11? 
 
44. Может ли уравнение х
2
 + рх + q = 0 с целыми нечетными ко-
эффициентами р и q иметь рациональные корни? 

 
 
50
45. Действительные корни уравнения х
2
 + 2рх + q = 0 равны х
1
 и 
х
2
. Составить приведенное квадратное уравнение,  корнями которо-
го являются числа: 
1) у
1
 = –х
1
 – х
2
   и  у
2
 = х
1
х
2

2) у
1
 = 1 – х
1
   и  у
2
 = 1 – х
2

3) 
2
1
1
x
у 
 и  
2
2
2
x
у 

4) у
1
 = (х
1
 + 1)
2
 и у
2
 = (х
2
 + 1)
2

 
46. При всех значениях параметра а  ℝ решите уравнение  
2х
2
 + (6а + 1)х + 9а – 3 = 0. 
Найдите все значения а, при которых: 
1) разность корней равна 2; 
2) модули корней равны; 
3) сумма квадратов корней минимальна; 
4) корни равноудалены от точки х = –1. 
 
47. Определить, при каких значениях параметра р  ℝ уравнения 
имеют общий корень: 
1) у
2
 – у = р  и 5х
2
 – х = 8 – р
 
2) х
2
 + 3х = р  и 2t
2
 + t = 7 – p
3) (x + 1)
2
 = 1 – p  и 3у
2
 + у + р = 1; 
4) 3у
2
 – у = 2р  и  5t
2
 + t = 6 – p
 
48.  Составить  квадратное  уравнение  с  целыми  коэффициентами, 
имеющее корень, равный 
2
3
2
3



49. Определить, при каких значениях параметра р  ℝ уравнение 
имеет ровно три корня. 
1) х
2
 + 3р = |x|; 
2) х
2
 + 2(р + 1)|x| + р
2
 + 3р = 0. 
 
 50. Определить, при каких значениях параметра р  ℝ уравнение 
имеет нечетное число решений. 
1) х
2
 + 2р
2
 =
2
|
x

2) х
2
 + 2(р + 1)|x| + р
2
 + 5р = 0. 
51. Определить, при каких значениях параметра q  ℝ корни урав-
нения 
0
2
4
5
2
2







q
x
q
q
x
действительны и различны. 
 

 
51 
52. Найти значения параметра а  ℝ, при которых корни уравне-
ния  х
2
 – 2ах + а + 6 = 0 отрицательны. 
 
53. Найти значения параметра р  ℝ, при которых корни уравнения  
х
2
 – 2(р – 1)х + р(р – 3) = 0 действительны и имеют разные знаки. 
 
54.  Найти  значения параметра  а    ℝ,  при  которых  сумма  дейст-
вительных корней уравнения  х
2
 + (1 – а – а)
2
х + а
2
 – 2 = 0 равна 1. 
 
55. Найти значения параметра а  ℝ, при которых отношение дей-
ствительных корней уравнения  х
2
 – (2а + 1)х + а
2
 + 2 = 0 равно 2. 
 
56. Найти все значения параметра q  ℝ, при которых сумма квад-
ратов действительных корней уравнения  х
2
 +  + q = 0 равна 3. 
 
57.
Найти 
сумму 
положительных 
корней 
уравнения  
0
1
)
2
5
(
2
2
2
4





x
a
a
x
. При каких значениях параметра а  ℝ, 
удовлетворяющих  неравенству  а
2
  –  3а    0,  эта  сумма  принимает 
наименьшее значение? 
 
58*  Найти  значения  параметра  а    ℝ,  при  которых  уравнение 
0
4
6
2
2




а
х
ах
 имеет только целые корни. 
 
 
5.3. Квадратичная функция и ее график 
 
– А – 
 
59. Убедившись, что каждое из приведенных уравнений задает на 
координатной  плоскости  0ху  параболу,  найти  координаты  ее  вер-
шины, направление ветвей (вниз, вверх, вправо, влево), точки пере-
сечения с осями координат и уравнение оси симметрии. 
1) у = х
2

2) 
2
2
1
x


 
3) у = 2х
2
 + 1; 
4) у = –х
2
 – 1; 
5)
)
8
(
4
1
2



x
y

6) у = –3(х
2
 + 1); 

 
 
52
7) у = х
2
 – 2x + 1; 
8) у = (х + 1)
2

 
9) у = –2х
2
 + 4x – 2; 
10) 
;
1
)
1
(
2
2




x
y
    
11) у = 3(x – 2)
2
 – 4; 
12) x = y
2

13) 
2
2
1
y


14) x = 2y
2
;  
15) x = –y
2

16) 4x = –y
2

 
17) x = –3y
2

18) x = y
2
 – 2y + 2;  
19) x = –(y – 1)
2
 + 2; 
20) x = –(y – 1)(y + 3); 
21) y = 2(x – 2)(x + 2); 
22) 2y = (x – 2)(x + 4); 
23) 2y = (x – 1)
2
 – 4; 
24) 2x = –(y – 1)
2
 + 4. 
 
60.  Построить  графики  функций.  При  необходимости  выделить 
полный квадрат. Объяснить, как искомый график получить из гра-
фика у = х
2
.  
1) у = ах
2
 + b, где  а  {1; 2; 3;
4
1
;
2
1


}, 
};
2
1
;
4
 
;
2
 
;
1
 
;
0
{





b
 
2) у = ах
2
 + bx, где  а  {1; 2; 
4
1
;
3
1


}, 
}.
2
1
;
4
 
;
3
;
2
 
;
1
{






b
 
 
61. Построить графики уравнений. При необходимости выделить 
полный квадрат. Объяснить, как искомый график получить из гра-
фика х = у
2
.  
1) х = ау
2
 + b, где  а  {
3
1
;
2
1


;1; 4}, 
};
2
1
;
3
 
;
2
 
;
1
 
;
0
{





b
 
2) х = ау
2
 + , где  а  {1; 2; 
4
1
;
3
1


}, 
}.
2
1
;
4
 
;
2
 
;
1
{





b
 
 
– В – 
 
62. Построить графики функций: 
1) у = х
2
 – 2х – 3; 
2) y = x
2
 – 2|x| – 3; 
3) y = |x
2
 – 2x – 3|; 
4) y = |x
2
 – 2|x| – 3|; 
5) |y| = x
2
 – 2x – 3; 
6) |y| = x
2
 – 2|x| – 3; 
7) |y| = |x
2
 – 2x – 3|; 
8) |y| = |x
2
 – 2|x| – 3|; 
9) y = (x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3; 
 

 
53 
10) y + 1 = (x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3; 
11) y –1 = (x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3;   
12) y + 1 = (x – 1)
2
 – 2|x – 1| – 3; 
13) y = |(x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3|; 
 
14) y = |(x – 1)
2
 – 2|x – 1| – 3; 
15) y + 1 = |(x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3|; 
16) y + 1 = |(x – 1)
2
 – 2|x – 1| – 3|; 
17) |y| = (x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3; 
18) |y| = |(x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3|; 
19) |y + 1| = (x – 1)
2
 – 2(x – 1) – 3; 
20) |y + 1| = (x – 1)
2
 – 2|x – 1| – 3. 
 
63. Построить графики приведенных ниже функций и для каждой 
из них найти область определения и множество (область) значений, 
точки  пересечения  с  осями  координат,  промежутки  знакопостоян-
ства,  промежутки    (интервалы)    монотонности,  точки  экстремума, 
максимальное и минимальное значения (если они существуют). 
1) у = х
2
 + 2х + 4; 
2) у = –х
2
 – 2х + 2; 
3) у = х
2
 + 2х – 2; 
4) у = –х
2
 – 2х – 4; 
5) у = 5х
2
 – 10х + 6; 
6)
2
5
2
1
2




х
х
у

7) у = (х
2
 – 2)(х
2
 + 1) – (х
2
 + 1)
2

8) у = (х + 1)
3
 – (х – 1)
3

9) 
9
6
2
4



х
х
у

10) 
9
6
2
4



х
х
у

11) 
25
,
2
3
2
4



х
х
у

12) 
25
,
2
3
2
4



х
х
у

13) 
25
,
0
2
2
4




х
х
у

14) 
25
,
0
2
2
4




х
х
у

15) 
25
,
0
3
2
2
4




х
х
у

16) 
25
,
0
3
2
2
4




х
х
у

17) 
25
,
0
2
2
4




х
х
у

18) 
25
,
0
2
2
4





х
х
у

19) 
25
,
0
5
2
2
4




х
х
у

20) 
25
,
0
5
2
2
4





х
х
у

21) y = x|x|; 
22) y = x
2
 + x|x|
23) 
x
x
y
3
|
|


24) 
|
|
3
x
x



 
 
54
25) 
x
x
x
y
3
2
|
|



26) 
x
x
x
y
|
|
2




27) 
2
2
|
|
x
x
x
x
y




28) 
;
)
(
2
x
x

 
29) 
2
3
)
x
x


30) 
2
2
)
(
x
x


31) 
2
)
(
2
x
x
x
y



32) 
2
2
x
x
x
y



33)
2
3
)
(
2
x
x
x
y



34) 
2
3
2
x
x
x
y



35)
;
3
)
1
(
2
)
1
(
2
2





x
x
y
   
36) 
;
3
)
1
(
2
)
1
(
2
2





x
x
y
 
37) 
;
3
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
2
2






x
x
x
y
   
38) 
.
3
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
2
2






x
x
x
y
 

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   20
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
Барлы конкурс
білім беретін
ызмет регламенті
ткізу туралы
республикасы білім
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
Конкурс ткізу
стандарттарын бекіту
бойынша жиынты
дебиеті маманды
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
дістемелік материалдар
ауданы кіміні
конкурс туралы
рметті студент
Мектепке дейінгі
облысы бойынша
мыссыз азаматтар
жалпы білім
Мемлекеттік кірістер
мектепке дейінгі
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
білім беруді
разрядты спортшы
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
мелетке толма
аласы кіміні
директоры бдиев

Loading...