Сборник задач по алгебре Часть Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства в помощь учащимся 10-11-х классов

Loading...


Pdf көрінісі
бет2/20
Дата28.03.2020
өлшемі1.31 Mb.
түріСборник задач
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20

31. 1) х
2
 – 2х + 1;  
2) 4х
2
 + 4х + 1;  
3) х
2
 +8х + 16; 
4) 4х
2
 – 12х + 9; 
5) 
5
6
5
9
2

 х
х

6) 
3
8
3
16
2

 х
х

 
32. 1) (2х + 5)
2
 – (3х + 1)
2

2) (4 – х)
2
 – (3х + 5)
2

3) х
2
 – 10х + 25 – 4у
2

4) х
2
 – у
2
 + 6у – 9; 
5) (3 – 2х)
2
 – (3у – 2х);  
6) (а + 3b)
4
 – (a
2
 – 6ab + 8b
2
)
2

7) 64 – 121y
12

8) 16a
2
 – 25b
6

 
33. 1) 4х
4
 – 5х
2
 + 1; 
2) х
4
 – 3х
2
 – 4; 
3) х
4
 + 13х
2
 + 36; 
4) х
4
 – 5х
2
 – 36; 
5) 2х
4
 – 7х
2
 – 99;  6) х
4
 – 17х
2
 + 16. 
 
34. 1) х
2
 – 4ху + 4у
2

2) а
2
 + 2ab – 3b
2

 
3) 4a
2
 – 2ab
4
2
b


4)  6m
2
 – mn – 4n
2

 
5) 6x
2
 – xy – y
2

6) m
2
 + 7mn + 10n
2

 
35. 1) y
3
 – 6y
2
 + 12y – 8; 
2) a
2
 + 3a
2
 + 3a + 1; 
3) 8a
3
 + 36a
2
b + 54ab
2
 + 27b
3

4) 27x
3
 – 27x
2
 + 9xy
2
 – y
3

5) 125 – 150x + 60x
2
 – 8x
3

 
Разложить на множители и сократить дробь. 
 
36. 1) 
2
2
1
2
3
x
x
x




2) 
12
3
2
5
2
2
2



x
x
x

3) 
1
2
4
3
2
2




x
x
x
x

4) 
1
2
3
3
4
2
2




x
x
x
x

5)
6
5
4
2
8
2
2




x
x
x
x

6) 
30
2
7
12
2
2
2
1




x
x
x
x


 
 
10
37. 1) 
1
3
4
1
27
2
3



x
x
x

2) 
4
4
3
8
2
3



x
x
x
;   
3) 
2
2
3
3
10
13
3
125
b
b
a
b
a




4)
3
3
2
2
8
6
b
a
b
ab
a




 
38. Упростить выражения. 
1)























1
1
1
1
:
2
1
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a

2) 
25
10
5
25
25
5
5
2
2
2


















a
a
a
a
a
a
a
a
a

3) 
2
2
2
2
2
2
4
)
2
(
)
2
(
2
:
4
1
2
2
y
y
x
x
y
y
x
y
x
xy
x
y
x

















4) 























xy
y
x
y
y
x
y
x
y
y
x
y
4
4
4
2
2
:
2
1
4
2
2
2
2
2
2

5) 
ab
b
b
a
a
b
ab
a
b
ab
a
4
2
2
4
2
2
2
2
2
1
2
1















6) 
1
1
1
:
1
1
1
2
2
2
2









a
a
a
a
a
a
a
a
a

7) 

















a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
:
3
27
3
9
3
2
3
2
2
2

8) 


















b
b
b
b
b
27
9
3
3
3
1
2
2

9) 


















a
a
a
a
a
8
4
2
2
2
1
2
2

10) 
1
2
:
1
2
1
1
1
1
3
2
2
3
















a
a
a
a
a
a
a
a

11) 
54
2
)
3
(
5
:
27
18
6
9
3
3
3
2
3
2














a
a
a
a
a
a
a


 
11 
12)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

























4
1
4
12
4
64
20
4
2
16
4
16
3
2
3
2

 
– С – 
 
39. Разложить на множители. 
1) –2х
3
 + х
2
 + 2х – 1; 
2) х
3
 + 6х
2
 + 11х + 6; 
3) х
3
 – 3х
2
 – 4х + 12; 
4) 2х
4
 – 3х
3
 – 3х
2
 + 7х – 3; 
5) х
4
 – 5х
3
 + 2х
2
 – 5х + 1; 
6) 2х
4
 + 3х
3
 – 4х
2
 – 3х + 2; 
7) х
4
 – 10х
3
 + 35х
2
 – 50х + 24. 
 
40. Найти сумму коэффициентов многочлена 
(7х
3
 – 13у
2
 + 3х + 4)
2010
(у
3
 – 8х
2
 + 6у + 7) + (2х
2
 + 18у
2
 – 21)
2009
. 
 
41.  Найти  сумму  тех  коэффициентов  многочлена  (5х  –  4)
2009
,  ко-
торые стоят при нечетных степенях х
 
42. Упростить выражения. 
1) 
)
3
)(
2
(
|
|
|
3
|



x
x
x
x
x

2) 
|
1
|
1
2


a
a
a
a

3) 
|
|
1
|
|
|
1
|
2
y
y
y
y
y






4) 
25
10
3
1
|
5
|
2
2





y
y
y
y
y


 
 
12
 2. МНОЖЕСТВА, ПОДМНОЖЕСТВА,  
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. МОДУЛЬ. 
ПРОСТЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА 
 
Множество, подмножество. Объединение и пересечение мно-
жеств.  Числовые  множества.  В  математике  множество  –  это 
совокупность  предметов  или  объектов,  объединенных  каким-либо 
общим свойством или, как иногда говорят, помещенных в прозрач-
ную  неосязаемую  сферу.  При  этом  предполагается,  что  предметы 
(объекты) данной совокупности можно отличать друг от друга и от 
объектов, не входящих в эту совокупность. Например, можно гово-
рить  о  множестве  всех  учеников  данного  класса,  множестве  всех 
натуральных  чисел,  множестве  всех  точек  данного  отрезка  или 
прямой.  Ученики  данного  класса,  натуральные  числа,    точки  дан-
ного  отрезка  или  прямой  являются    элементами  соответствующих 
множеств. 
Обычно множества обозначают большими латинскими буквами: 
ХY, …, а элементы множеств – латинскими строчными буквами: х
у,  …    Запись  х    Х    (х    Х)  означает,  что  х  является  (не  является) 
элементом множества Х. Например: 5  ℕ, 0  (0; 1],  3,1  ℕ. 
Для  удобства  работы  с  множествами  и  записи  с  их  помощью 
различных  математических  высказываний,  вводится  понятие  мно-
жества,  не  содержащего  ни  одного  элемента.  Оно  называется  пус-
тым множеством и обозначается .  
Если два множества состоят из одних и тех же элементов, то они 
называются равными и записываются как Х = Y. Если все элементы 
множества Х принадлежат также и множеству  Y, то говорят, что  Х 
является подмножеством Y, а записывается это так: Х  Y.  
Множество  объектов  х,  объединенных  свойством  Р(х),  записы-
вается в виде {x/P(x)}, например: {вороны на земле/ворона белая} – 
множество  белых  ворон  на  земле,  здесь  роль  Р(х)  играет  свойство 
«ворона белая». 
Над множествами можно производить операции. 
 1. Объединение (или сумма)  Y – это множест-
во всех элементов, входящих хотя бы в одно из мно-
жеств Х или Y
 

 
13 
2.  Пересечение  Х    Y  –  это  множество  всех  эле-
ментов, входящих как в Х, так и в Y
3. Вычитание Х Y – это множество всех элементов 
Х, которые не входят в Y
 
 
Часто множества, рассматриваемые в той или иной задаче, явля-
ются  частью  некоего  универсального  (объемлющего,  основного) 
множества, которое обозначим Е. Если Х – это подмножество Е, то 
Х
Е
Х
\

– это дополнение к Х в Е, т.е. все элементы множества Е
которые не принадлежат Х
Свойства операций объединения и пересечения множеств во мно-
гом аналогичны свойствам суммы и умножения чисел. 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Множества 
А  В = В  А 
А  В = В  А 
(А  В)  C = A  (В  C
(А  В)  C = A  (В  C
(А  В)  C = (A  C)  (В  C) 
Числа 
a + b = b + a 
ab = ba 
(a + b) + c = a + (b + c
(ab)c = a(bc
(a + b)c = ac + bc 
Но эта аналогия действует не всегда, например. 
6.  
7. 
8. 
A  A = 
 А = А 
(А  С)  (В  C) = (A  В)  
а + а 

 а 
а

а 

 а 
(ас)(bc)  (ab)
 
Напомним, что координатной прямой (или числовой осью) назы-
вается прямая с выбранной точкой  0 – началом отсчета, указанным 
положительным  направлением  и  единичным  масштабным  отрез-
ком. Всякое действительное число х на числовой оси изображается 
точкой и, наоборот, всякая точка координатной прямой изображает 

 
 
14
некоторое  вполне  определенное  действительное  число.  Поэтому 
часто точки координатной прямой и действительные числа отожде-
ствляют, ведь между ними есть взаимнооднозначное  соответствие, 
и  говорят,  например:  «отметим  на  числовой  оси  точку  х  =  5»  или 
«рассмотрим на координатной прямой число ». 
Модуль  и  его  свойства.  Пусть  А  –  какое-либо  действительное 
число или выражение. Модулем А называется само это число (или 
выражение),  если  А    0, и  число  (или  выражение)    –А,  если  А  < 0. 
Обозначается модуль как |А|. Это основное определение модуля, но 
есть и другие, равносильные ему, которые используются при реше-
нии задач. 
Геометрическое  определение  модуля  состоит  в  том,  что  модуль 
числа  –  это  расстояние  от  начала  отсчета  числовой  оси  до  точки, 
изображающей это число на этой  оси. Из этого определения легко 
запомнить, что модуль всегда неотрицателен, т.е. |a| 0 при любом 
а    ℝ.  Из  этого  определения  также  следует,  что  модуль  разности 
двух чисел |a
1
 – a
2
| равен расстоянию между точками а
1
 и а
2
 на чи-
словой оси независимо от их взаимного расположения. 
Алгебраическое определение модуля: 
2
|
|
A


Рассмотрим  основные  свойства  модуля,  учитывая,  что  во  всех 
приведенных свойствах а и b – действительные числа (выражения), 
т.е. ab  ℝ: 
1)  |a|  0, причем |a| = 0  a = 0; 
2)  |a

b| = |a|

|b|, откуда |–a| = |a|; 
3)  |a
n
| = |a|
n
, где п  ℕ, а если п = 2k – четное число, то |a
2k
| = |a|
2k

4) 
|
|
|
|
b
a
b
a


5)  |a + b|  |a| + |b| (неравенство треугольника); 
6)  |a – b|  ||a| – |b||  |a| – |b|; 
7)  |a + b| = |a| + |b|  ab  0; 
8)  |a – b| = ||a| – |b||  ab  0; 
9) 
|
|
2
2
A
A
k
k

k  ℕ. 

 
15 
– А – 
 
1. Найти А  ВА  ВА \ ВВ А,  А , если: 
1) А = {1, 2, 5}, B = {3, 4, 5},  E = {1, 2, …, 9}; 
2) A = [–3; 2),  B = (0; 5],  E = (–; +); 
3) A = [1; 3],  B (3; 4],  = (–; +). 
 
2. Найти  А  ВА  ВА \ ВВ А,  А , если: 
1) А = 











2
2
,
1
2
1
,
1
,       В =







2
  
,
1
2
,
2
1
,  













2
2
,
1
2
1
,
2
1
,
1
2
 
2,
  
,
1
Е

2)  А = [–1, 0)  (1; 2);  
];
3
;
2
[
2
3
;
2
1









B
 E = ℝ; 
3)  А  =  {множество  целых  чисел,  принадлежащих  [–3;
2 )},  
В={целые  числа  из  интервала  (–5;  1)},    Е  =  ℤ  –  множество  всех 
целых чисел. 
 
3.  Для  множества  А  найти  А    ℕ,  Аℚ,    Аℤ,    Аℝ, 
А(ℝ\ℚ), где  ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℝ\ℚ – это множества натуральных, 
целых,  рациональных,  действительных  и  иррациональных  чисел 
соответственно: 
(3)}
8,
 
;
 
;
2
 
;
 
4,5;
 
;
729
-
 
2;
  
0;
  
;
3
1
 
5;
{
3
e
А




4. Из множества А, приведенного  задаче 3, выбрать: 1) все целые 
числа,  которые  не  являются  натуральными;    2)  все  рациональные 
числа, которые не являются целыми; 3) все действительные числа, 
которые не являются рациональными. Как эти множества записать 
при помощи введенных операций над множествами? 
 
5. Найти количество целых чисел, принадлежащих множествам 
1)  [–6, 1)  (2; 5]; 
2) 







5
9
;
7
,
4
;  3) 









5
;
2
;
3
5
)
6
;
4
[
)
0
;
2
3
[

Сколько среди них натуральных чисел? 
 

 
 
16
6. Найти длину промежутков.  
1) [–5; 2];     
 2)







2
7
;
3
1
;     
3) (–; 2). 
 
7.  Изобразить  на  координатной  прямой  (числовой  оси)  проме-
жутки. 
1) (–5; 1); 
2) [–3; 2);  
3) [3; 7];  4) (–; 4]; 
5) (10; +); 
6) [–25; +). 
 
8.  Изобразить  на  числовой  оси  и  записать  в  виде  промежутка 
следующие множества, задаваемые условиями. 
1) х < 1; 
2) x  0; 
3) x  8; 
4) –2 < x < 0; 
5) –1,5  x < 2;  6) 0 < x  6. 
 
9. Найти объединение и пересечение промежутков. 
1) [–2; 7) и (0; 10]; 
2) (–; 3] и [–2; 1); 
3) (3; +) и [2; +); 
4) [–3; –1] и (–2; 4]. 
 
10.  Изобразить  на  числовой  оси  и  записать  в  виде  промежутков 
(или их объединений) следующие множества. 
1) (–3; –1]  (–2; +); 
2) 









);
;
2
(
],
1
;
3
(
x
x
 
3) 









;
2
,
1
3
x
x
 
4) ([–2; 0)  [1;+))  [–1; 1]; 
5) 










];
1
  
;
1
[
),
 
;
1
[
]
0
 
;
2
[
x
x
 
6) [–2; 0)  ([1; +)  [–1; 1]); 
7) ((–; –3)  (3; +))  [–4; 4]; 
8) 











];
4
  
;
4
[
),
 
;
3
[
]
3
 
;
[
x
x
 
9) 















];
4
  
;
4
[
),
;
3
(
),
3
;
(
x
x
x
 
10) ((–; +)(–; 0))[–1,  2]; 
11) (–; +)((–; 0)[–1,  2]); 
             x  ℝ, 
   12)    x  (–; 0), 
              [–1, 2]; 
 
  13) ((–; 100)(–; 0))[1, 5]; 

 
17 
14) (–; 100)  ((–; 0)  [1, 5]);  15) 










.
5]
 ,
1
[
),
0
 
;
(
],
100
;
(
х
x
x
 

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
Барлы конкурс
білім беретін
ызмет регламенті
ткізу туралы
республикасы білім
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
Конкурс ткізу
стандарттарын бекіту
бойынша жиынты
дебиеті маманды
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
дістемелік материалдар
ауданы кіміні
конкурс туралы
рметті студент
Мектепке дейінгі
облысы бойынша
мыссыз азаматтар
жалпы білім
Мемлекеттік кірістер
мектепке дейінгі
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
білім беруді
разрядты спортшы
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
мелетке толма
аласы кіміні
директоры бдиев

Loading...