Сборник задач по алгебре Часть Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства в помощь учащимся 10-11-х классов

Loading...


Pdf көрінісі
бет1/20
Дата28.03.2020
өлшемі1.31 Mb.
түріСборник задач
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20

Федеральное агентство по образованию 
Российской Федерации 
 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  ЯДЕРНЫЙ  
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» 
 
 
 
 
 
 
 
Сборник задач 
по алгебре 
 
 
Часть 1. Рациональные  
и иррациональные 
уравнения и неравенства 
 
В помощь учащимся  10–11-х классов  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  2009 

УДК   512(076) 
ББК   22.143я7 
С23 
Сборник  задач  по  алгебре.  Часть  1.  Рациональные  и  иррацио-
нальные  уравнения  и  неравенства.  В  помощь  учащимся  10–11-х 
классов/  О.В.  Нагорнов,  А.В.  Баскаков,  О.  Б.  Баскакова,  С.А.  Гришин, 
А.Б.  Костин,  Р.Р.  Резванов,    Д.С.  Теляковский.    М.:  НИЯУ  МИФИ, 
2009.  –  156 с. 
 
Данная книга является первой частью пособия, составленного в соот-
ветствии  с  программой  углубленного  изучения  математики  в  10–11-х 
классах. Сборник включает задачи по алгебре, относящиеся к рациональ-
ным и иррациональным уравнениям и неравенствам, которые сгруппиро-
ваны  по  трем  уровням  сложности.  В  некоторых  разделах  даны  краткие 
теоретические сведения. Задачи второй и третьей группы сложности мо-
гут быть использованы при проведении математических олимпиад.   
Пособие  предназначено  для  слушателей  подготовительных  курсов,  а 
также  поможет  подготовиться  к  олимпиадам,  поступлению  в  физико-
математические    лицеи  и  НИЯУ  МИФИ.  Учителя  могут  использовать 
данное пособие для подготовки к занятиям. 
 
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ 
в качестве учебного пособия 
 
Рецензент   проф. Н.А. Кудряшов 
 
 
© Национальный исследовательский ядерный 
   университет «МИФИ», 2009 
 
 
 ISBN   978-5-7262-1145-9 
 
 
  
Редактор   Е. Н. Кочубей       
Макет подготовлен Е. Н. Кочубей   
Подписано в печать 13.07.2009.          Формат 6084 1/16.  
Изд. №  036-1.  П.л. 9,75.  Уч.-изд. л. 9,5.   Тираж  4500 экз.  Заказ № 
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».  
Типография  НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское шоссе, 31

 

 
 
 
 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ  
 
 
1. Преобразование числовых и буквенных выражений  .................. 4 
2. Множества, подмножества, числовые множества. Модуль.  
    Простейшие числовые  неравенства .......................................... 12 
3. Арифметические корни. Рациональные степени. 
    Тождественные преобразования выражений с целыми   
    и рациональными показателями ................................................ 20 
4. Линейные уравнения, неравенства,  системы уравнений,  
    неравенств................................................................................... 31 
5. Квадратные уравнения и неравенства. Разложение корней   
  квадратного уравнения. Теорема Виета. Квадратная функция  
  и ее график .................................................................................. 39 
6.  Многочлены. Уравнения высших степеней. Системы 
    алгебраических уравнений ......................................................... 65 
7. Дробно-линейные уравнения и неравенства  ............................. 72 
8. Прямая, окружность, парабола, гипербола  ............................... 80 
9. Иррациональные уравнения и неравенства................................ 96 
Ответы  ......................................................................................... 109 
 
 
_______ 

 
 

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ 
И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 
 
– А – 
 
1. Найти НОД чисел. 
1) 54 и 72; 
 
2) 18 и 34; 
 
3) 204 и 174. 
4) 50 и 125;    
5) 24, 60 и 96;   
6) 135, 75, 225. 
 
2. Найти НОК чисел. 
1) 15 и20;  
 
2) 34 и 22; 
 
3) 12 и 6; 
4) 7 и 11;  
 
5) 60 и 24; 
 
6) 12, 18 и 66; 
7) 24, 117 и 495. 
 
3. Представить число в виде конечной десятичной дроби. 
1) 
2
1
1

 
2) 
4
3
;   
3) 
8
3
;   
4) –2
5
2

5) 
10
7
1

 
6) –
20
7

7) 
25
8
;  
8) 
50
19

9) 
200
3
3

 
10)
8
17


11) 
16
11

12) 
80
23

 
4. Представить число в виде рациональной дроби. 
1) 0,6;  
 
2) 2,3;    
3) –1,7;  
4) 0,24; 
5) –0,375;  
 
6) 0,85;  
7) 2,72;  
8) 3,725; 
9) 0,448; 
 
10) 1,625. 
 
5. Выполнить сложение и вычитание дробей. 
1) 
12
11
2
8
5
3 
;  
2)
24
7
2
16
3
1

;   
3) 
75
,
0
3
1


4) 
12
11
8
,
0 
;   
5) 
4
7
4
,
3 

6) 
49
15
14
13


7)
54
17
3
24
3
4


 
6. Выполнить умножение и деление дробей. 
1) 
14
3
1
4
3
1 

2)
22
5
4
3
2
3 

3) 
5
3
2
13
4
1

;      4) 
25
17
1
24
11
1

;   
5)
7
3
1
:
7
5

6) 
1
,
1
:
7
5
4
;  
7) 
6
1
1
:
12
11
2
;  
8)
12
1
1
:
9
8
2


 

7. Найти расстояние между точками на оси 0х
1) –7 и 2; 
2) 27 и 84;  
3) –8 и 7;  
4) 
7
4

 и –0,2; 
5) 
3
2
1
 и 
2
1
5

6) –0,8 и 
5
2
3

7) –3,85 и 
4
3
1
;   8) 3,7 и 13,24. 
 
8. Найти длину промежутка. 
1) [–5; 1]; 
2) (27;100); 
3) [–83; –17]; 
4) 






2
1
9
;
3
1
7

5) 







4
,
1
;
3
1

6)







1
,
0
;
6
5
2

 
Раскрыть скобки и привести подобные члены. 
9. 1) 3(х – 2) – 5(2х + 1); 
2) 
)
6
4
(
2
1
7


х

 
3) 7(5 – х) + 4(3х + 5) – 8; 
4) 
)
1
3
(
2
)
8
6
(
2
1
1



х
х

5) 4(0,5 – 1,5х) – 9







х
9
2
2
3
2
1
;  6)















3
2
4
6
1
2
3
2
,
3
2
1
1
5
х
х

 
10. 1) 4х – 2(х
2
 + 2х – 5); 
2) 12 + 3х – 3(х
2
 + х + 4); 
   3) (х
2
 – 5х + 4) – 2(х
2
 – х + 2);  4) 3 – 2(3х – 5) – (5 – 2х – х
2
). 
 
11. 1) (2х – 3)(х + 4);  
2) (5 – х)(х + 3); 
   3) (3х – 1)(х – 3); 
4) (5х – 2)(2х + 3); 
   5) 3 – (х – 1)(2х – 3);  
6) (2х – 3)(3х + 2) – (3х – 2)(2х + 3); 
   7) 3(х – 3)(х + 2) – (3х – 1)(х + 4). 
 
12. 1) 7(3 – 2х) + 4(х + 2) –
3
1
(9 – 15х); 
2) (3 – х)(5 + 2х) – 2(3 – х)(2 + х); 
 
3) (3х – 4)(2 – 8х) – 4(2х + 5)(1 – 3х); 
4) 2(х – 1)(х –2)(х – 3) – (х
2
 + 1)(2х – 12). 
 
13.  1) (х + 3)
2
;    
2) (2х – 1)
2

 
3) (4х + 5)
2

4) (х + 2)
2
 
 
5) (2х – 1)
2
 – 4(х + 2)
2
;  
6) (3х + 5)
2
 – 30х
7) (2 – 7х)
2
 – 4; 
8) (4х – 5)
2
 + (3х + 2)
2

9) 7 – (2х – 5)
2


 
 

14. 1) (х + 2)
3
;  
2) (2х – 1)
3

 
3) (3х + 2)
3

4) (х – 4)
3

5) (2х + 3)
3
;  
 
6) (2 – 5х)
3

 
15. 1) (0,5х – у
2
)
2

 
 
2) (х
3
 + 4)
3
;   
3) (1 + 2у)(1 – 2у)(1 + 4у
2
); 
4) (1 + 2х – 3у)(1 + 2х + 3у); 
5) (3х – 2у
2
)(3х + 2у
2
); 
 
6) (2х – 3у + z)(2x + 3y – z); 
7) (2a – 3b)(4a
2
 + 6ab + 9b
2
); 
8) (a
2
 – 1)(a
4
 + a
2
 + 1). 
 
Разложить на множители. 
 
16. 1) 12b – 72;  
2) 9b – 6a
3) 13x – 39y
4) 10a + 55; 
5) 21m – 14n
6) 105а – 135b
 
17. 1) 3х
3
 – 15х
2) 6z
3
 – 2z
5

3) 7xy – 49y
2

4) 2y
5
 – 14y
4

5) 24xy – 36y
2

6) 18x
2
 – 42xy
7) 28x
2
y – 70xy
2

8) 60xy
2
 + 84x
2
y
 
18. 1) 4x
2
 – y
2

2) 16a
2
 – 25b
2
;   
3) 9x
2
 – 100; 
4)36x
4
 – 25y
2

5) x
2
 – 441; 
 
6) 256 – y
2

7) 3x
2
 – 75y
2

8) 50t
2
 – 288; 
 
9) 24 – 54t
2

 
19. 1) x
3
 – 1; 
2) y
3
 + 8; 
 
3) 8x
3
 – 27; 
4) x
3
 – 8y
3

5) 8y
3
 + 125; 
 
6) a
6
 + 125b
3

 
Сократить дроби. 
 
20. 1) 
ab
а
15
5

2) 
2
2
18
6
xy
y
x


 
3) 
2
2
5
81
63
y
x
xy


4)
2
3
2
14
63
b
a
b
a

5) 
8
14
2 
x

 
6)
6
99
6
3
2

 x
x

7)
)
1
(
5
15
5
2


x
x

8)
)
7
(
12
52
8
4
2
2



x
x
x

 
Разложить на множители и сократить дроби. 
 
21. 1) 
3
2
)
5
(
6
)
5
(
9


x
x

2) 
y
x
y
x
6
3
14
7



 
3) 
bx
x
b
x
2
2
2




 

4) 
c
d
d
c
2
6
9
3



5) 
2
3
2
3
5
5
mn
n
n
m
m



 
22. 1) 
4
10
5
2


х
х

2) 
35
21
25
9
2


х
х

 
3) 
2
2
5
30
36
x
x
x



4) 
6
3
4
4
2



x
x
x

5) 
1
2
1
2
2



a
a
a
;   
6) 
xy
y
y
x
14
21
9
4
2
2
2



7) 
2
2
2
9
25
65
39
x
y
xy
x



8) 
4
9
)
2
3
(
2
2


x
x
;    
9) 
1
4
1
4
4
2
2



x
x
x

10) 
36
4
9
6
2
2



x
x
x

11) 
2
3
2
2
2
ab
a
b
ab
a




 
23. 1) 
4
2
8
2
3



x
x
x

2) 
1
3
3
3
3
2



n
n
n

3) 
12
4
27
3


y
y

4) 
27
7
21
3


y
y

5) 
1
4
1
8
2
3


x
x

 
6) 
8
27
4
9
3
2


x
x

 
24. Упростить выражение. 
1) 










b
a
b
a
b
b
a
1
1
2
2

2) 
2
2
:
2
4
2
3
2
2













b
b
b
b
b
b
b

3) 
b
a
a
b
a
b
ab
a
b
a














2
2
2
2
2

4) 
y
x
y
y
x
y
x
x












:
4
4
2
2

5) 










x
y
x
y
x
x
y
y
x

 
6) 
a
x
a
a
ax
a
a
2
1
1
1
2







7) 
a
b
a
b
a
a
b
4
2
2
2




;   
8) 
n
m
m
n
n
m
m
n
m












9) 
1
1
2
1
4











y
y
y
y
;   
10)










a
b
a
b
a
a
b
a
b
:

11) 
1
1
1
1
3











с
с
с
с
;   
12) 
b
a
a
b
a
b
a
a









:


 
 

13) 
c
a
a
c
c
a










1
2
;   
14) 
x
x
y
x
y
y
xy
x
2
1
1
2
2







15) 
4
6
16
6
)
4
(
2






a
a
a
a
a

16) 
n
m
n
m
n
m
3
3
2
:
1
1











 
– В – 
 
25. Представить в виде периодической десятичной дроби. 
1) 
3
1
;  
2) 
6
5

3) 
9
4
;    
4) 
3
2
1

5) 
12
5

6) 
7
5

7) 
18
13
;  
8) 
24
17

9) 
99
37

10) 
90
47
;  
11) 
990
127

 
26. Представить в виде рациональной дроби. 
1) 0,(6);  
2) 1,(5); 
3) 0,(37); 
 
4) 2,(27); 
5) –1,(69); 
6) 0,0(3); 
7) 1,1(4); 
 
8) 0,3(1); 
9) 2,1(50); 
10) 2,(27); 
11) 0,3(81);   
12) 4,31(5). 
 
27. Выполнить действия. 
1) 
6
,
0
29
13
1
2
,
0
7
13










2) 
2
13
2
1
3
,
2
6
7










3) 
75
58
6
,
2
20
3
1
:
4
3
5
3
1
















4) 
42
1
14
1
2
1
7
3
2
2
1
3
2
1


















5) 
002
,
0
6
1
18
:
12
5
138
30
7
140








6) 
2
,
0
6
,
0
4
1
2
18
5
93
30
7
95










 
28. Раскрыть скобки и привести подобные члены. 
1) (х
2
 – 3х + 2)
2
 – (х
2
 + 4х + 1)
2
;   
2) (2х
2
 + х + 3)
2
 – 3(х
2
 – 3х –1)
2

 
Разложить на множители. 
 
29. 1) 15х – 3у + 5х
2
 – ху;  
2) 14х + 10у – 35ху – 25у
2


 

3) 3х
3
 – 4х
2
 + 6х – 8; 
4) 6х
3
 + 15х
2
 – 4х – 10; 
5) 2х
4
 + 4х
3
 – 5х – 10; 
6) 3х
4
 – х
3
 + 12х – 4; 
7) 8ах – 15by + 12bx – 10ay
8) 9mx – 28ny + 21my – 12nx
9) x
2
 – y
2
 + x + y
 
30. 1) х
2
 – 5х + 6; 
2) 3х
2
 + 5х + 2;  
3) 0,5х
2
 + х –12; 
4) 2х
2
 – 5х + 3; 
5) х
2
 – 8х – 9; 
6) 
3
2
3
1
2

 х
х

7) 6 – х – х
2

8) 7х – 3х
2
 + 6; 
9) 6 – 5х – 6х
2

 


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Loading...


©melimde.com 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін ызмет
Жалпы ережелер
ызмет стандарты
дістемелік кешені
бекіту туралы
туралы хабарландыру
біліктілік талаптары
кіміні аппараты
Конкурс туралы
жалпы біліктілік
ойылатын жалпы
мемлекеттік кімшілік
жалпы конкурс
Барлы конкурс
білім беретін
ызмет регламенті
ткізу туралы
республикасы білім
конкурс атысушыларына
біліктілік талаптар
атысушыларына арнал
Республикасы кіметіні
идаларын бекіту
облысы кімдігіні
рсетілетін ызметтер
мемлекеттік ызмет
Конкурс ткізу
стандарттарын бекіту
бойынша жиынты
дебиеті маманды
мемлекеттік мекемесі
дістемелік сыныстар
дістемелік материалдар
ауданы кіміні
конкурс туралы
рметті студент
Мектепке дейінгі
облысы бойынша
мыссыз азаматтар
жалпы білім
Мемлекеттік кірістер
мектепке дейінгі
Конкурс жариялайды
дарламасыны титулды
білім беруді
разрядты спортшы
дістемелік кешен
ызметтер стандарттарын
мелетке толма
аласы кіміні
директоры бдиев

Loading...