АҚЫРҒЫ Өрістер теориясы бойынша электрондық анықтама



жүктеу 76.41 Kb.
Дата17.02.2017
өлшемі76.41 Kb.
АҚЫРҒЫ ӨРІСТЕР ТЕОРИЯСЫ БОЙЫНША ЭЛЕКТРОНДЫҚ АНЫҚТАМА
Курбанов Р.

«Информатика» мамандығының студентті

Ғылыми жетекшісі, доцент Т.Н. Алипбаев
Қазіргі заманда ақпараттық технологиялар адамзатпен жинақталған ақпаратты электрондық пішінге кең ауқымды аударуға мүмкіндік береді. Қазір бұл ақпаратты тарататын, ұйымдастыратын және сақтайтын, өндірістің басқа деңгейін сапалы түрде іске асыратын электрондық анықтамаларды құру арқылы тиімді түрде шешіледі.

Электрондық анықтама құру үшін мына бес бөлімді қарастыру қажет: ақырғы өрістер теориясына кіріспе, ақырғы өрістер теориясының негіздері, ақырғы өрістер теориясының қолдану аймағы, ақырғы өрістер теориясының мысалдары және Эварист Галуаның өмірбаяны.

Бүтін сандардың Z жиынында екі операция белгілі: қосу және көбейту. Кез-келген жиын операциясының түсінігін жинақтайық. s-бір шама жиын және s*s реттелген қосақтың (s,t) жиынын көрсетсін, мұнда sS және tS. Онда s*s-тен s-ке кез-келген бейнені S жиындағы операция (бинарлық) деп атаймыз. Бұл анықтамада әрбір қосақтың бейнесі міндетті түрде S жиынның элементі болуын талап етеміз. Бұл операцияның тұйықтық қасиеті деп аталады. Алгебралық құрылым немесе түсінігі ішіне бір немесе бірнеше операциялары бар S бір шама жиыны кіреді. Мұндай бір операциясы бар алгебралық құрылымның біреуі топ болып табылады.

Анықтама. (G,*) тобы (кейін топты жай G деп атайтын боламыз) деп ондағы бинарлық операциялары бар G бір шама жиынын айтады, олар үшін келесі шарттар орындалады:

1) * операциясы ассоциативті, яғни кез-келген a,b,c G үшін a*(b*c)=(a*b)*c

әділді;


  1. G-да кез-келген a G болатын, e бірлік элементі бар

a*e=e*a=a;

  1. әрбір a G үшін G кері элементі болады,

.

Егер G тобы келесі шартты: кез-келген a,b G

a*b=b*a

қанағаттандырса, онда оны коммутатив немесе Абель тобы деп атайды.

Бірлік e және кері G топтың элементі әрбір aG берілген элементі үшін жоғарыда келтірілген шарттармен бірмәнді анықталады. a,bG барлық элементтері үшін теңдік орын алады. * группалық операциясы үшін жай көбейту үшін сияқты мультиплекативті белгілеу қолданылуы мүмкін. Онда a*b орнына a∙b немесе ab деп жазуға болады. Бірақ, мұнда * операциясы-бұл жай көбейту деп есептемейді. Бір қатар жағдайларда * группалық операциялар үшін a+b аддитивті жазба a*b орнына қолданылуы мүмкін. Онда Ga+b топтың элементін a,b элементтерінің қосындысы және e орнына 0 (мультипликативті жазбадағы бірлік элемент) және орнына -a деп атайды. Мұндай белгілеулер әдетте Абель топтарында қолданылады. Егер aG және nN мультипликативті жазбада (a көбейткіштердің n) жазады және элементін a санның дәрежесі деп атайды. Егер топтық операция үшін + қолданылса, яғни аддитивті белгілеу, онда орнына na=a+a+…+a (a қосылғыштарының n) аламыз.

Мультипликативті және аддитивті белгілеуді қолдана отырып жалпы жағдайда келесі ережелерді аламыз.

Мультиплекативті белгілеулер: Аддитивті белгілеулер:

; ;

; ;

. .

n=0z үшін мультипликативті белгілеулерде және аддитивті белгілеулерде 0∙a=0 аламыз;

Көрсетілген жазба формаларын қолданылған G топтары мультипликативті және аддитивті деп атайды.

Анықтама. S сақинасы ішіне R сақинасы ішіне R сақинасының φ:R→S бейнеленуі гомоморфизм деп аталады, немесе кез-келген a,bR φ(a+b)= φ(a)+ φ(b) және φ(a+b)= φ(a) φ(b).

Сонымен, R сақинаның + және * екі операциясын φ:R→S гомоморфизмі сақтайды.



Анықтама. Бүтін сандардың {0,1,2,…,P-1} жиынын P жай сан үшін арқылы бейнелейміз, және φ:Z/p→ бейнеленуі a=0,1,2,…,P-1 үшін φ([a])=a шартымен анықталады. Онда φ бейнелеумен ықпалданған өріс құрылымы бар жиыны P қатардың Галуа өрісі деп аталады (Мұндай өрісті былай белгілейміз: GF(p)-Galois және Field сөздерінен аббревиатура).

φ:Z/p→ бейнеленуі изоморфизм болып табылады, өйткені φ([a]+[b])= φ([a])+ φ([b]) және φ([a] ∙[b])= φ([a]) ∙φ([b]). ақырғы өріс нолі 0 ноль, ал бірлігі – 1 бірлік болады және оның құрылымы Z/p өріс құрылымымен сәйкес келеді.

Мысалы. Екінші қатардың ақырғы өрістің мысалы негізгі болып табылады. Бұл өрістің 0 және 1- бинарлық элементтер болып табылады.

ЭЕМ есептеулері үшін қолданумен байланысты -мен белгілейтін және N бит деректер ұзындығының қатарына сәйкес келетін {0,1} элементтерден тұратын Галуа өрісі де маңызды болып табылады. Мұндай биттер қатарларын көпмүше түрінде де қарастыруға ыңғайлы. Мысалы, 8-биттен тұратын байт түрінде келтіруге болады.



Анықтама. R кез-келген сақина болсын. Әрбір үшін n∙r=0 теңдігі орындалатын n сандардың ең кішісі R сақинаның сипаттамасы деп аталады, ал R өзін сипаттамасының сақинасы деп атайды.

Теорема. Егер e бірлігі бар және нөль бөлгіштері жоқ R≠{0} сақинасында n оң сипаттамасы болса, онда n- жай сан.

Салдар. Ақырғы өрістің сипаттамасы жай сан болып табылады.



Теорема. p жай сипаттамасының R-коммутативті сақинасы болсын. Онда: және .

Енді, R/M фактор-сақина өріс болу үшін, бірлігі бар R коммутативті сақинаның M идеалы қандай болу керек екенін анықтайық.

R - бірлігі бар коммутативті сақина болсын. элемент элементінің бөлгіші бар болса. (1/a) бірлігінің бөлгіштері керіленетін элементі деп аталады. R-дегі a және b элементтер ассоциативтенген деп аталады, егер ол керіленген элементі болып табылмаса және онымен ассоциативтенген элементттер немесе керіленген элементтерден басқа бөлгіштері жоқ болса. R сақинаның p≠R идеалын жай идеал деп атайды, егер үшін қосу немесе болғанда ғана орын алады. R сақинасының M≠R идеалы максимальді идеал деп атайды, егер R сақинаның J идеалының қосуы өзінің артынан J=M немесе J=R тартса. R сақинасын басты идеалдардың сақинасы деп атайды, егер ол бүтін сақина болып табылса, және R сақинаның әрбір J идеалы басты болып табылса, яғни элементі, мұнда

Криптографиялық қолданбаларда басты рольді көпмүшелер алады және ол бойынша қажетті қызықты нәтижелерді ақырғы өрістер теориясынан алынды.

Көпмүше деп түрдегі өрнек деп аталады. Мұнда: n-көпмүшелердің дәрежесі бүтін теріс емес сан;

сақина элементі (көпмүшелердің коэффициенттері);

x-сақинаға жатпайтын белгісіз немесе айнымалы.

Айтып кету керек, көпмүше анықтау кезінде коэффициенттер және x айнымалысы арасындағы байланыс әдетте талқыланбайды. Бірақ, мұндай байланыс бар және көпмүшелердің сақина элементі көпмүшеге анықтама бере отырып, абстракты алгебрада көрсетуге болады.

Анықтама. R сақинаның үстінен көпмүшелермен түзілген және R-дің үстінен көпмүшелердің сақинасы деп аталатын және R[x]-пен белгіленетін S сақинасы.

компоненттері бірлігі бар R коммутативтік сақинаның элементі болып табылатын барлық ақырсыз тізбекті түрдегі S жиынын қарастырайық, компоненттерінің ақырғы сандары ғана 0-ден ерекшеленуі мүмкін. Бұл жиын + және ∙ операцияларына қарасты бірлігі бар коммутативтік сақина құрайды. Сонымен R сақинасын S сақинасының ішсақинасы ретінде, ал S-ті R сақинаның кеңейтуі ретінде қарастыруға болады. S сақинасының элементтері нольдік емес элементтердің ақырғы саны бар ақырсыз тізбегі сияқты анықталатын көпмүшелері болып табылса. Мұнда R-дегі R сақинасынан S көпмүшелердің сақинасына көшу R сақинасына x элементінің сақиналық қосуы деп аталады. Сонымен, R сақинаның элементтері (көпмүшенің коэффициенттері) мен x жаңа элементі арасында байланыс бейнеленеді. Кейін негізінен F өрісіндегі көпмүшелермен жұмыс істейміз, сондықтан F өрісіндегі көпмүшелер мен көпмүшелердің сақинасы үшін F(x) немесе GF(x) бейнелеуін қолданамыз.

Өріс үстіндегі көпмүшелердің сақинасы үшін +, ∙, салыстыру, қалдықпен бөлу, бөлінгіштік операциялары әділетті. F өріс үстінен f(x) және екі көпмүшесі тең болып саналады, егер

және үшін.

f(x) және g(x) көпмүшелердің соммасы теңдікпен анықталады.

,

ал көпмүшелердің көбейтіндісі және

0≤i≤m, 0≤j≤n

Бөлу. көпмүшесі көпмүшесін бөледі, егер бар болса, мұнда f(x)=g(x)∙h(x).

Қалдықпен бөлу. g(x)≠0 - F өріс үстінен F[x]-дегі көпмүше болсын. Онда әрбір үшін q(x) және r(x) көпмүшелер бар, мұнда f(x)=q(x)∙g(x)+r(x) (deg(r)

F[x] көпмүшелер сақинасының жай элементтері жіктелмеген көпмүше деп аталады.

Бұл электрондық анықтама студенттерге «ақпаратты қорғау» бойынша көмекші құрал ретінде құрастырылған. Келтірілген электрондық анықтамада ұнамды және қолайлы интерфейспен бірге қызықты программаларды қамтиды.



Электрондық анықтаманы жүзеге асыру үшін программалық қамтама ретінде көшірілетін гипермәтіндік құжаттарды құруға қолданатын гипермәтінді бейнелеу арнайы тілі (Hyper Text Markup Language, немесе HTML) алынды, сонымен бірге растрлық кескінді дайындау машықтанған программасы- Adobe Photoshop қолданылды.
Пайдаланылған әдибиеттер тізімі


  1. Ромонец Ю.В. Зашита информации в компьютерных системах и сетях. // Под. ред. В.Ф. Шаньгина. – М.: Радио и связь, 2005 г.

  2. Тұрым А.Ш., Мұстафина Б.М. Ақпарат қорғау және қауіпсіздендіру негіздері: Оқу құралы.-Алматы: АЭЖБИ, 2002 ж.

  3. Введение в теорию конечных полей. Интернеттегі адресі: http://cyber.albertina.ru;

  4. Олифер В. Г., Олифер И. А. Новые технологии и оборудование IP-сетей. – Санкт-Петербург, 2003.

  5. Тұрым А. Ш. Ақпараттану және есептеу техникасының түсіндірме сөздігі. Ы. Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті.: Алматы, 2000.

  6. Тұрым А. Ш., Мұстафина Б. М. Ақпарат қорғау және қауіпсіздендіру негіздері. Алматы, 2002.

  7. Тұрым А. Ш. Есептеу кешендері, жүйелері және тораптары. Алматы: ҚазҰТУ, 2002.


Достарыңызбен бөлісу:


©melimde.com 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет